Inequação exponencial

Bom dia. Estou tentando fazer essa questão mas está errada. Eu estou errando ou o gabarito que está incorreto?

Questão:
No universo dos números reais, determine o conjunto solução da inequação
\[3_{}^{2x+1}<\frac{10}{9}*3^{x+2}-3\]

gabarito:

Minha resolução:
\[3^{2x+1}<\frac{10}{9}*3^2*3^x-3\]
\[3*3^{2x}<10*3^x-3\]
\[3^x=k\]
\[3k^2<10k-3\to 3k^2-10k+3<0\]
As soluções dessa quadrática são e, como o coeficiente é positivo, a quadrática tem concavidade pra cima
\[k=\frac{1}{3};k=3\]
\[\frac{1}{3}<3^x<3\to 3^{-1}<3^x<3^1\to S=(-1,1)\]
\[\text{Sendo S o conjunto solucao}\]
Eu já fiz esse exercício umas 3 vezes e dá a mesma resposta, alguém pode me indicar onde estou errando?

No seu enunciado aparece x^{2.x + 1} e na 1ª linha da sua solução está 3^{2.x + 1}

Qual é o certo?

Se for base 3, existe um erro na sua solução: a parábola tem a concavidade voltada para cima.
Mesmo assim não se chega ao gabarito.

E seu título está errado: deveris ser Inequação exponencial (e não logarítimica)

Elcioschin escreveu:No seu enunciado aparece x^{2.x + 1} e na 1ª linha da sua solução está 3^{2.x + 1}

Qual é o certo?

Se for base 3, existe um erro na sua solução: a parábola tem a concavidade voltada para cima.
Mesmo assim não se chega ao gabarito.

E seu título está errado: deveris ser Inequação exponencial (e não logarítimica)

Perdão, escrevi errado! É 3^2x sim. E vou corrigir o enunciado, grato

Raízes y = 1/3 e y = 3  

Lembre-se que 3^x nunca pode ser negativo logo a solução é [0, 1]

Elcioschin escreveu:Raízes y = 1/3 e y = 3  

Lembre-se que 3^x nunca pode ser negativo logo a solução é [0, 1]

Mas o k = 1/3 não significa que 3^x = 1/3 -> x = -1? O 3^x não continuaria sendo positivo?

Uma sugestão também é utilizar o Wolfram, que utiliza meios computacionais para realizar os cálculos:
https://www.wolframalpha.com/input?i2d=true&i=Power%5B3%2C2x%2B1%5D%3CDivide%5B10%2C9%5D*Power%5B3%2Cx%2B2%5D-3
Na parte da solução real ele trás o mesmo resultado, (-1, 1).