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Trigonometria

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Mensagem por IcyTheBandito Sáb 14 Set 2024, 16:20

Analisando as afirmativas, é correto dizer que:

1.Para todo x, sen x + cos x=1.
2.Existe algum x tal que sen x + cos x = 1.
3.Existe algum x tal que sen x + cos x = -1.
4.Existe algum x tal que sen x + cos x = 0.

a)Todas elas são falsas.
b)exatamente uma delas é verdadeira.
c)exatamente duas delas são verdadeiras.
d)exatamente três delas são verdadeiras.
e)todas elas são verdadeiras.

Gabarito:

Alguém poderia explicar a 4, por favor.
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Mensagem por Giovana Martins Sáb 14 Set 2024, 16:30

Proposição 1: falso, pois não é para todo x conforme resolução abaixo.

\[ \mathrm{sin(x)+cos(x)=1\to cos\left ( \frac{\pi}{2}-x \right )+cos(x)=1\to 2cos\left ( \frac{\pi}{4} \right )cos\left ( \frac{\pi}{4}-x \right )=1\ \therefore\ cos\left ( \frac{\pi}{4}-x \right )=\frac{\sqrt{2}}{2}}\]

\[ \mathrm{\therefore\ x=\left\{ \left ( \frac{\pi }{2}+2k\pi,2k\pi \right ),k\in \mathbb{Z}\right\}}\]

Proposição 2: verdadeiro conforme resolução acima.

Proposição 3: verdadeiro.

Analogamente a resolução da proposição 1, tem-se:

\[\mathrm{cos\left ( \frac{\pi}{4}-x \right )=-\frac{\sqrt{2}}{2}\ \therefore\ x=\left\{ \left ( -\frac{\pi }{2}+2k\pi,\pi +2k\pi \right ),k\in \mathbb{Z}\right\}}\]

Proposição 4: verdadeiro.

Analogamente a resolução da proposição 1, tem-se:

\[\mathrm{cos\left ( \frac{\pi}{4}-x \right )=0\ \therefore\ x=\left\{ \left ( -\frac{\pi }{4}+k\pi \right ),k\in \mathbb{Z}\right\}}\]

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Mensagem por Giovana Martins Sáb 14 Set 2024, 16:39

Uma resolução que eu julgo mais rápida e mais fácil se você estiver habituado a construir gráficos de funções trigonométricas.


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Mensagem por Estudante204 Sáb 21 Set 2024, 09:52

Boa tarde! 

Alguém poderia me explicar a resolução escrita passo a passo, por favor?

Trigonometria Screen12
Eu li e reli, mas não consegui entender. Creio isso por eu estar ainda começando trigonometria. 

Em específico, seria sobre as passagens que foram feitas na resolução do item 1 (a vermelha, a azul, a verde e a roxa). 

Na passagem vermelha, eu queria perguntar porque o seno de x foi substituído por cos de pi/2 - x.

Agradeço se alguém puder ajudar.

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Mensagem por Giovana Martins Sáb 21 Set 2024, 10:05

Bom dia, Estudante.

Vamos lá: eu utilizei duas identidades trigonométricas.

Existe uma identidade trigonométrica que diz que:

cos(a - b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)

Para a = pi/2 e b = x:

cos(pi/2 - x) = cos(pi/2)cos(x) + sin(pi/2)sin(x) = sin(x)

Agora, saindo da caixinha vermelha para a caixinha azul, eu utilizei uma identidade trigonométrica chamada Prostaférese (ou fórmula de Werner). Esta identidade é escrita como:

cos(a) + cos(b) = 2cos(a + b)/2]cos[(a -b)/2]

Para a = (pi/2) - x e b = x você chega na expressão que eu cheguei na caixinha que você indicou em azul e, posteriormente, na caixinha que você indicou em verde.

Há alguma dúvida quanto à caixinha roxa ou quanto à segunda resolução?

Bom, se houver qualquer outra dúvida, é só falar.

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Trigonometria Empty Re: Trigonometria

Mensagem por Elcioschin Sáb 21 Set 2024, 11:30

Outro modo de resolver a afirmativa 4:

senx + cosx = 0 ---> senx = -cosx ---> (senx)² = (-cosx)² ---> sen²x  = cos²x ---> sen²x = 1 - sen²x --->

2.sen²x = 1 --> sen²x = 1/2 --> senx = +2/2 ou senx = - 2/2

Para a igualdade original ser verdadeira devemos ter senx e cosx com sinais opostos.
Isto acontece no 2º ou 4º quadrantes:

No 2º quadrante, por exemplo, senx =2/2 e cosx = -2/2

Logo, existem valores de x que satisfazem a afirmativa 4
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