Trigonometria
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Trigonometria
Analisando as afirmativas, é correto dizer que:
1.Para todo x, sen x + cos x=1.
2.Existe algum x tal que sen x + cos x = 1.
3.Existe algum x tal que sen x + cos x = -1.
4.Existe algum x tal que sen x + cos x = 0.
a)Todas elas são falsas.
b)exatamente uma delas é verdadeira.
c)exatamente duas delas são verdadeiras.
d)exatamente três delas são verdadeiras.
e)todas elas são verdadeiras.
Alguém poderia explicar a 4, por favor.
1.Para todo x, sen x + cos x=1.
2.Existe algum x tal que sen x + cos x = 1.
3.Existe algum x tal que sen x + cos x = -1.
4.Existe algum x tal que sen x + cos x = 0.
a)Todas elas são falsas.
b)exatamente uma delas é verdadeira.
c)exatamente duas delas são verdadeiras.
d)exatamente três delas são verdadeiras.
e)todas elas são verdadeiras.
- Gabarito:
Alguém poderia explicar a 4, por favor.
IcyTheBandito- Iniciante
- Mensagens : 27
Data de inscrição : 24/05/2024
Localização : Paraná
Giovana Martins gosta desta mensagem
Re: Trigonometria
Proposição 1: falso, pois não é para todo x conforme resolução abaixo.
\[ \mathrm{sin(x)+cos(x)=1\to cos\left ( \frac{\pi}{2}-x \right )+cos(x)=1\to 2cos\left ( \frac{\pi}{4} \right )cos\left ( \frac{\pi}{4}-x \right )=1\ \therefore\ cos\left ( \frac{\pi}{4}-x \right )=\frac{\sqrt{2}}{2}}\]
\[ \mathrm{\therefore\ x=\left\{ \left ( \frac{\pi }{2}+2k\pi,2k\pi \right ),k\in \mathbb{Z}\right\}}\]
Proposição 2: verdadeiro conforme resolução acima.
Proposição 3: verdadeiro.
Analogamente a resolução da proposição 1, tem-se:
\[\mathrm{cos\left ( \frac{\pi}{4}-x \right )=-\frac{\sqrt{2}}{2}\ \therefore\ x=\left\{ \left ( -\frac{\pi }{2}+2k\pi,\pi +2k\pi \right ),k\in \mathbb{Z}\right\}}\]
Proposição 4: verdadeiro.
Analogamente a resolução da proposição 1, tem-se:
\[\mathrm{cos\left ( \frac{\pi}{4}-x \right )=0\ \therefore\ x=\left\{ \left ( -\frac{\pi }{4}+k\pi \right ),k\in \mathbb{Z}\right\}}\]
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Charlotte de Witte - Universal Nation
Giovana Martins- Grande Mestre
- Mensagens : 8423
Data de inscrição : 15/05/2015
Idade : 24
Localização : São Paulo
Re: Trigonometria
Uma resolução que eu julgo mais rápida e mais fácil se você estiver habituado a construir gráficos de funções trigonométricas.
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Charlotte de Witte - Universal Nation
Giovana Martins- Grande Mestre
- Mensagens : 8423
Data de inscrição : 15/05/2015
Idade : 24
Localização : São Paulo
IcyTheBandito gosta desta mensagem
Re: Trigonometria
Boa tarde!
Alguém poderia me explicar a resolução escrita passo a passo, por favor?
Eu li e reli, mas não consegui entender. Creio isso por eu estar ainda começando trigonometria.
Em específico, seria sobre as passagens que foram feitas na resolução do item 1 (a vermelha, a azul, a verde e a roxa).
Na passagem vermelha, eu queria perguntar porque o seno de x foi substituído por cos de pi/2 - x.
Agradeço se alguém puder ajudar.
Alguém poderia me explicar a resolução escrita passo a passo, por favor?
Eu li e reli, mas não consegui entender. Creio isso por eu estar ainda começando trigonometria.
Em específico, seria sobre as passagens que foram feitas na resolução do item 1 (a vermelha, a azul, a verde e a roxa).
Na passagem vermelha, eu queria perguntar porque o seno de x foi substituído por cos de pi/2 - x.
Agradeço se alguém puder ajudar.
Estudante204- Iniciante
- Mensagens : 15
Data de inscrição : 02/07/2021
Re: Trigonometria
Bom dia, Estudante.
Vamos lá: eu utilizei duas identidades trigonométricas.
Existe uma identidade trigonométrica que diz que:
cos(a - b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)
Para a = pi/2 e b = x:
cos(pi/2 - x) = cos(pi/2)cos(x) + sin(pi/2)sin(x) = sin(x)
Agora, saindo da caixinha vermelha para a caixinha azul, eu utilizei uma identidade trigonométrica chamada Prostaférese (ou fórmula de Werner). Esta identidade é escrita como:
cos(a) + cos(b) = 2cos(a + b)/2]cos[(a -b)/2]
Para a = (pi/2) - x e b = x você chega na expressão que eu cheguei na caixinha que você indicou em azul e, posteriormente, na caixinha que você indicou em verde.
Há alguma dúvida quanto à caixinha roxa ou quanto à segunda resolução?
Bom, se houver qualquer outra dúvida, é só falar.
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Charlotte de Witte - Universal Nation
Giovana Martins- Grande Mestre
- Mensagens : 8423
Data de inscrição : 15/05/2015
Idade : 24
Localização : São Paulo
Re: Trigonometria
Outro modo de resolver a afirmativa 4:
senx + cosx = 0 ---> senx = -cosx ---> (senx)² = (-cosx)² ---> sen²x = cos²x ---> sen²x = 1 - sen²x --->
2.sen²x = 1 --> sen²x = 1/2 --> senx = +√2/2 ou senx = - √2/2
Para a igualdade original ser verdadeira devemos ter senx e cosx com sinais opostos.
Isto acontece no 2º ou 4º quadrantes:
No 2º quadrante, por exemplo, senx =√2/2 e cosx = -√2/2
Logo, existem valores de x que satisfazem a afirmativa 4
senx + cosx = 0 ---> senx = -cosx ---> (senx)² = (-cosx)² ---> sen²x = cos²x ---> sen²x = 1 - sen²x --->
2.sen²x = 1 --> sen²x = 1/2 --> senx = +√2/2 ou senx = - √2/2
Para a igualdade original ser verdadeira devemos ter senx e cosx com sinais opostos.
Isto acontece no 2º ou 4º quadrantes:
No 2º quadrante, por exemplo, senx =√2/2 e cosx = -√2/2
Logo, existem valores de x que satisfazem a afirmativa 4
Elcioschin- Grande Mestre
- Mensagens : 73071
Data de inscrição : 15/09/2009
Idade : 78
Localização : Santos/SP
Giovana Martins gosta desta mensagem
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