Questão - Limites

por matheus_feb Qua 04 Set 2024, 18:44

Boa noite, amigos!
Não consegui resolver completamente estas questões de limite, alguém conseguiria mostrar como resolver?

Também queria saber a diferença entre limites laterais e limites bilaterais.

por **Giovana Martins** Qua 04 Set 2024, 20:49

Boa noite, Matheus. Peço, por gentileza, que ajuste a postagem.

Só é permitida uma questão por postagem.

Regras: Regulamentos-h26.htm

por matheus_feb Qua 04 Set 2024, 21:11

Giovana Martins escreveu:
Boa noite, Matheus. Peço, por gentileza, que ajuste a postagem.

Só é permitida uma questão por postagem.

Regras: Regulamentos-h26.htm

Perdão, Giovana. Já ajustei. Embarassed

por **Giovana Martins** Qua 04 Set 2024, 22:29

\[\mathrm{ \displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{[1-cos(x)]sin[1-cos(x)]}{cos^{2}(x)-2cos(x)+1}=\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{[cos(x)-1]sin[cos(x)-1]}{[cos(x)-1]^{2}}=\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{sin[cos(x)-1]}{cos(x)-1}=1}\]

O limite lateral é o que eu indiquei aqui: https://pir2.forumeiros.com/t206416-duvida-conceitual-limites

O limite bilateral existe se, e somente se, ambos os limites laterais existem e são iguais.

por **Giovana Martins** Qua 04 Set 2024, 22:37

Vou explicar um pouco mais o que eu fiz, porque a depender de onde você está nos seus estudos de limites, talvez você ainda não tenha chegado na parte que explica acerca do limite fundamental trigonométrico.

Primeiramente, no numerador, eu transformei 1 - cos(x) em cos(x) - 1 colocando - 1 em evidência.

Posteriormente, eu transformei sin[1 - cos(x)] em - sin[cos(x) - 1]. Eu sei que isso é verdade, tendo em vista a paridade da função seno, a qual é uma função ímpar, logo, sin(- x) = - sin(x).

Multiplicando 1 - cos(x) por sin[1 - cos(x)]:

[1 - cos(x)]sin[1 - cos(x)] = (- 1)[cos(x) - 1]{- sin[cos(x) - 1]} = [cos(x) - 1]sin[cos(x) - 1].

O limite fundamental trigonométrico nos diz que:

\[\mathrm{\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{sin(x)}{x}=1}\]

por **Giovana Martins** Qua 04 Set 2024, 22:38

Não irei detalhar acerca da demonstração do limite fundamental trigonométrico, pois me falta rigor técnico. De qualquer modo, nos livros ou no Youtube você encontra a demonstração.

por matheus_feb Qui 05 Set 2024, 07:11

Giovana Martins escreveu:
Não irei detalhar acerca da demonstração do limite fundamental trigonométrico, pois me falta rigor técnico. De qualquer modo, nos livros ou no Youtube você encontra a demonstração.

Bom dia, Giovana.
Não precisa demonstrar esse limite fundamental trigonométrico, apenas tinha ficado em dúvida quanto a 1 - cos(x). Não havia pensado no formato ímpar de seno..
Minha outra dúvida rege quanto ao uso de L'Hôpital. Seria possível aplicá-lo na resolução desse limite ou não?

por **Giovana Martins** Qui 05 Set 2024, 15:17

Boa tarde, Matheus. Espero que esteja bem.

Matheus, você somente consegue aplicar L'Hôpital quando o limite tende a 0/0 ou a infinito/infinito aplicar o valor para o qual x está tendendo.

Note que se você fizer x tendendo a zero no limite deste exercício você chegará em 0/0, logo, é possível aplicar L'Hôpital. Se tivesse dado um valor diferente de 0/0 ou infinito/infinito daí não seria possível aplicar L'Hôpital. O que daria para fazer seria manipular a função de tal modo a escrevê-la de um jeito que ao aplicar o valor para o qual x está tendendo você chegue em 0/0 ou infinito/infinito e aí sim aplicar L'Hôpital.

À noite eu resolvo a questão via L'Hôpital.

por matheus_feb Qui 05 Set 2024, 15:29

Giovana Martins escreveu:
Boa tarde, Matheus. Espero que esteja bem.

Matheus, você somente consegue aplicar L'Hôpital quando o limite tende a 0/0 ou a infinito/infinito aplicar o valor para o qual x está tendendo.

Note que se você fizer x tendendo a zero no limite deste exercício você chegará em 0/0, logo, é possível aplicar L'Hôpital. Se tivesse dado um valor diferente de 0/0 ou infinito/infinito daí não seria possível aplicar L'Hôpital. O que daria para fazer seria manipular a função de tal modo a escrevê-la de um jeito que ao aplicar o valor para o qual x está tendendo você chegue em 0/0 ou infinito/infinito e aí sim aplicar L'Hôpital.

À noite eu resolvo a questão via L'Hôpital.

Olá, Giovana!
Já entendi as regras quanto ao uso de L'Hôpital, mas muito obrigado por elucidá-las mesmo assim. Agradeço pela disposição em fazer a questão pelo método.