Ache o valor de √1+√1+√1+√1+...

Ache o valor de [latex]\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{+1\sqrt{1+...}}}} [/latex]


a)1
b)2
c)3
d)4
e)5

É comum fazer a seguinte conta:

\( \displaystyle x = \sqrt{1 + \sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\cdots}}}}\)

Elevando ao quadrado observamos que x aparece no membro da direta da igualdade:

\(\displaystyle x^2 = 1 + \underbrace{\sqrt{1 + \sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\cdots}}}}}_{\displaystyle = x}\)

Logo:
\(\displaystyle x^2 = 1+x \implies x = \dfrac{1 \pm \sqrt{5}}{2}\)

Como x>1, a única possibilidade é \( x = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}\)


ISso funciona nesse caso, mas as vezes pode dar problema. O ponto é que essas infinitas raízes uma dentro da outra precisam ser definidos em termos de convergencia. Formalmente, o que queremos é uma sequência como essa:

\(a_1 = 1, \quad a_{n+1} = \sqrt{1+{a_n}}\)

Nesse caso, essa sequência é crescente (visto que \(a_2 > a_1\) e \(f(x)= \sqrt{1+x}\) é crescente). Além disso, é limitada superiormente por 2 (pois \(a_1 < 2\) e \(a_n < 2\) implica \(f(a_n) < f(2) = \sqrt 3 < 2\). Logo, a sequência é convergente. Digamos que x é o valor do limite. Isso justifica as contas anteriores:


\(a_{n+1} = \sqrt{1+{a_n}} \implies  a_{n+1}^2 = 1+a_n^2  \implies \lim a_{n+1}^2 =  \lim1+a_n^2 \implies x^2 = 1+ x \)

E daí prosseguimos como antes.