Equações Irracionais
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Equações Irracionais
por Luan, o Rocha Qui 04 Abr 2024, 21:05
Fundamentos de Matemática Elementar - Vol. 1
Exercício 537.
Sabendo que a e b são números reais e positivos, resolva as equações:
c) [latex]\frac{\sqrt{a+x}+\sqrt{a-x}}{\sqrt{a+x}-\sqrt{a-x}}\doteq \frac{b}{a}[/latex]
Gabarito: [latex]b> a \Rightarrow S= \left \{ \frac{2a^{2}b}{a^{2}+b^{2}} \right \}[/latex]
Encontrei o valor de x em função de a e b facilmente, somente não entendi como faço para encontrar a relação [latex]b> a[/latex].
Segundo a resolução do livro, [latex]\frac{b}{a}> 0\Rightarrow b> a[/latex]
A dúvida é a seguinte: Essa implicação que consta na resolução do livro é válida? Se não (acredito que não seja), qual seria o metodo correto de se chegar a essa relação?
Grato desde já!
Exercício 537.
Sabendo que a e b são números reais e positivos, resolva as equações:
c) [latex]\frac{\sqrt{a+x}+\sqrt{a-x}}{\sqrt{a+x}-\sqrt{a-x}}\doteq \frac{b}{a}[/latex]
Gabarito: [latex]b> a \Rightarrow S= \left \{ \frac{2a^{2}b}{a^{2}+b^{2}} \right \}[/latex]
Encontrei o valor de x em função de a e b facilmente, somente não entendi como faço para encontrar a relação [latex]b> a[/latex].
Segundo a resolução do livro, [latex]\frac{b}{a}> 0\Rightarrow b> a[/latex]
A dúvida é a seguinte: Essa implicação que consta na resolução do livro é válida? Se não (acredito que não seja), qual seria o metodo correto de se chegar a essa relação?
Grato desde já!
Última edição por Luan, o Rocha em Qui 04 Abr 2024, 21:06, editado 1 vez(es) (Motivo da edição : Erro de digitação)
Luan, o Rocha- Iniciante
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Re: Equações Irracionais
por Elcioschin Qui 04 Abr 2024, 21:42
Note que, no 1º membro: numerador > denominador
Isto acontece porque temos duas parcelas positivas somadas no numerador e as mesmas duas parcelas são subtraídas no denominador
Logo, no 2º membro deve acontecer o mesmo: b > a
Poste o passo-a-passo da sua solução para que outros usuários aprendam com ela
Isto acontece porque temos duas parcelas positivas somadas no numerador e as mesmas duas parcelas são subtraídas no denominador
Logo, no 2º membro deve acontecer o mesmo: b > a
Poste o passo-a-passo da sua solução para que outros usuários aprendam com ela
Elcioschin- Grande Mestre
- Mensagens : 73164
Data de inscrição : 15/09/2009
Idade : 78
Localização : Santos/SP
Luan, o Rocha gosta desta mensagem
Re: Equações Irracionais
por Luan, o Rocha Sex 05 Abr 2024, 13:32
Resolução:
[latex]\frac{\sqrt{a+x}+\sqrt{a-x}}{\sqrt{a+x}-\sqrt{a-x}}= \frac{b}{a}[/latex]
Multiplica-se ambos os lados da igualdade por:[latex]\left ( \sqrt{a+x}-\sqrt{a-x} \right )^{2}[/latex]
Deste modo:
[latex]\left ( \sqrt{a+x}+\sqrt{a-x} \right )\left ( \sqrt{a+x}-\sqrt{a-x} \right )= \frac{b}{a}\left ( \sqrt{a+x}-\sqrt{a-x} \right )^{2}\Leftrightarrow a\left [ (a+x)-(a-x) \right ]= b\left [ (a+x)+(a-x)-2\sqrt{(a+x)(a-x)} \right ]\Leftrightarrow 2ax= 2ab-2b\sqrt{a^{2}-x^{2}}\Leftrightarrow b\sqrt{a^{2}-x^{2}}= a(b-x)[/latex]
Eleva-se ao quadrado os dois membros da igualdade:
[latex]b^2(a^2-x^2)=a^2(b-x)^2\Leftrightarrow a^2b^2-b^2x^2=a^2b^2-2a^2bx+a^2x^2\Leftrightarrow[/latex]
[latex](a^2+b^2)x^2-(2a^2b)x=0\Leftrightarrow x[(a^2+b^2)x-2a^2b]=0\Leftrightarrow[/latex]
[latex]x=0[/latex] ou [latex]x=\frac{2a^2b}{a^2+b^2}[/latex]
Para [latex]x=0[/latex] Teriamos que [latex]\sqrt{a+x}-\sqrt{a-x}=0[/latex] .Isto não é possível. pois [latex]\sqrt{a+x}-\sqrt{a-x}[/latex] é o denominador da equação.
Deste modo, a única solução, para [latex]b>a[/latex] é [latex]x=\frac{2a^2b}{a^2+b^2}[/latex].
[latex]\frac{\sqrt{a+x}+\sqrt{a-x}}{\sqrt{a+x}-\sqrt{a-x}}= \frac{b}{a}[/latex]
Multiplica-se ambos os lados da igualdade por:[latex]\left ( \sqrt{a+x}-\sqrt{a-x} \right )^{2}[/latex]
Deste modo:
[latex]\left ( \sqrt{a+x}+\sqrt{a-x} \right )\left ( \sqrt{a+x}-\sqrt{a-x} \right )= \frac{b}{a}\left ( \sqrt{a+x}-\sqrt{a-x} \right )^{2}\Leftrightarrow a\left [ (a+x)-(a-x) \right ]= b\left [ (a+x)+(a-x)-2\sqrt{(a+x)(a-x)} \right ]\Leftrightarrow 2ax= 2ab-2b\sqrt{a^{2}-x^{2}}\Leftrightarrow b\sqrt{a^{2}-x^{2}}= a(b-x)[/latex]
Eleva-se ao quadrado os dois membros da igualdade:
[latex]b^2(a^2-x^2)=a^2(b-x)^2\Leftrightarrow a^2b^2-b^2x^2=a^2b^2-2a^2bx+a^2x^2\Leftrightarrow[/latex]
[latex](a^2+b^2)x^2-(2a^2b)x=0\Leftrightarrow x[(a^2+b^2)x-2a^2b]=0\Leftrightarrow[/latex]
[latex]x=0[/latex] ou [latex]x=\frac{2a^2b}{a^2+b^2}[/latex]
Para [latex]x=0[/latex] Teriamos que [latex]\sqrt{a+x}-\sqrt{a-x}=0[/latex] .Isto não é possível. pois [latex]\sqrt{a+x}-\sqrt{a-x}[/latex] é o denominador da equação.
Deste modo, a única solução, para [latex]b>a[/latex] é [latex]x=\frac{2a^2b}{a^2+b^2}[/latex].
Luan, o Rocha- Iniciante
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