Números em uma aposta

Em um jogo de loteria envolvendo times de futebol, o participante escolhe dez números entre os oitenta disponíveis e um Time do Coração, também entre 80 disponíveis. São sorteados sete números e um Time do Coração por concurso. Se o participante tiver de três a sete números corretos, ou acertar o time do coração, ele ganha. 

Qual a probabilidade de uma pessoa que fez uma aposta acertar os 7 números e o Time do Coração?

a)[latex]\frac{7!}{80!}[/latex]


b)[latex]\frac{10!}{3!} \cdot \frac{73!}{80!}[/latex]


c)[latex]\frac{10!}{3!} \cdot \frac{73!}{80!} + \frac{1}{80}[/latex]


d)[latex]\frac{10!}{3!} \cdot \frac{73!}{80!} \cdot \frac{1}{80}[/latex]


e)[latex]\frac{10!}{3!} \cdot \frac{73!}{(80!)^{2}} [/latex]

Gabarito:

(i)Casos totais:

O número de combinações que podem gerar os 7 números sorteados é C(80,7). Ademais, também podemos decidir 80 times do coração. \(\therefore N_{total}=C(80,7)*80\)

(ii)Casos favoráveis:

O número de maneiras de selecionarmos 10 números e acertarmos 7 deles é C(10,7). Além disso, podemos escolher um único time do coração.

Logo, a resposta é:

\[P=\frac{N_{favoravel}}{N_{total}}\]
\[P=\frac{C(10,7)}{80\times C(80,7)}\]
\[\therefore \fbox{$ P=\frac{10!\times 73!}{80!\times 80\times 3!}$}\]

Vitor Ahcor escreveu:(i)Casos totais:

O número de combinações que podem gerar os 7 números sorteados é C(80,7). Ademais, também podemos decidir 80 times do coração. \(\therefore N_{total}=C(80,7)*80\)

(ii)Casos favoráveis:

O número de maneiras de selecionarmos 10 números e acertarmos 7 deles é C(10,7). Além disso, podemos escolher um único time do coração.

Logo, a resposta é:

\[P=\frac{N_{favoravel}}{N_{total}}\]
\[P=\frac{C(10,7)}{80\times C(80,7)}\]
\[\therefore \fbox{$ P=\frac{10!\times 73!}{80!\times 80\times 3!}$}\]

Por que os casos totais não poderiam ser

[latex] N_{total}=C(80,10) [/latex]


Não seria necessário permutar os outros números 3 números da aposta, além dos 7, uma vez que cada aposta é composta por 10 números?

E nos casos favoráveis, por que não poderia ser


[latex]N_=C(80,7) [/latex]


uma vez que deve-se selecionar 7 números certos de um universo de 80...

1°) O número de casos totais não é C(80,10) pois não estamos interessados em saber de quantas formas podemos escolher os números sorteados, mas sim de quantas maneiras podemos criar um resultado vencedor. Ou seja, da forma como resolvi a questão, o que diferencia um resultado do outro são os 7 números vencedores, os outros 3 não importam para os casos totais.

2°) O número de casos favoráveis não é C(80,7) pois isso é justamente a qtd de sorteios que geram um vencedor. Pense assim, os números sorteados já foram definidos, agora nos resta saber de quantas formas eu posso obter esses 7 números vencedores além dos outros 3.

Qualquer outra dúvida é só perguntar.