Uma questão de polinômio
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Adam Zunoeta
Elcioschin
Agente Esteves
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Uma questão de polinômio
Um polinômio P(x) é divisível pelo binômio (x - 1). Dividindo-o por (x² - x), obtém-se o quociente Q(x) = (x² - x) e o resto R(x). Se R(4) = 10, então determine o coeficiente do termo de primeiro grau de P(x).
Estou sem gabarito para essa questão.
Estou sem gabarito para essa questão.
Agente Esteves- Grupo
Velhos amigos do Fórum - Mensagens : 1267
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Re: Uma questão de polinômio
P(x) divisível por (x - 1) -----> P(1) = 0
P(x) = Q(x)*(x² - x) + R(x) ----> P(x) = (x² - x)*(x² - x) + ax + b
p(x) = x*(x - 1)*x*(x - 1) + ax + b ----> P(x) = (x - 1)²*x² + ax + b
Para x = 1 ----> P(1) = (1 - 1)²*1¹ + a + b -----> a + b = 0 -----> I
Para x = 4 ----> P(4) = (4 - 1)²*4² + 4a + b ----> 10 = 144 + 10a + b ----> II
Resolvendo I e II ----> a = -134/3
Seria isto Raquel?
P(x) = Q(x)*(x² - x) + R(x) ----> P(x) = (x² - x)*(x² - x) + ax + b
p(x) = x*(x - 1)*x*(x - 1) + ax + b ----> P(x) = (x - 1)²*x² + ax + b
Para x = 1 ----> P(1) = (1 - 1)²*1¹ + a + b -----> a + b = 0 -----> I
Para x = 4 ----> P(4) = (4 - 1)²*4² + 4a + b ----> 10 = 144 + 10a + b ----> II
Resolvendo I e II ----> a = -134/3
Seria isto Raquel?
Elcioschin- Grande Mestre
- Mensagens : 71436
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Re: Uma questão de polinômio
Um polinômio P(x) é divisível pelo binômio (x - 1). Dividindo-o por (x² - x), obtém-se o quociente Q(x) = (x² - x) e o resto R(x). Se R(4) = 10, então determine o coeficiente do termo de primeiro grau de P(x).
P(x)=(x-1)*Q1(x)+Ro(x)
Como P(x) é divisível por x-1, então :
Pelo teorema do resto temos:
P(1)=0
P(x)=(x²-x)*(x² - x)+R(x)
P(x)=x²*(x-1)²+R(x)
R(x) é na pior das hipóteses do primeiro grau, então:
R(x)=ax+b
Sabemos que P(1)=0
Então:
P(1)=R(1) ---> R(1)=0
a+b=0 ---> b=-a
R(4)=10
10=4a-a
a=10/3
b=-10/3
R(x)=(10x-10)/3
P(x)=(x-1)*Q1(x)+Ro(x)
Como P(x) é divisível por x-1, então :
Pelo teorema do resto temos:
P(1)=0
P(x)=(x²-x)*(x² - x)+R(x)
P(x)=x²*(x-1)²+R(x)
R(x) é na pior das hipóteses do primeiro grau, então:
R(x)=ax+b
Sabemos que P(1)=0
Então:
P(1)=R(1) ---> R(1)=0
a+b=0 ---> b=-a
R(4)=10
10=4a-a
a=10/3
b=-10/3
R(x)=(10x-10)/3
Última edição por Adam Zunoeta em Dom 27 Nov 2011, 17:00, editado 1 vez(es)
Adam Zunoeta- Monitor
- Mensagens : 4223
Data de inscrição : 25/08/2010
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Re: Uma questão de polinômio
Estava indo pelo caminho certo, Elcioschin.
Mas R(4) =10 e não P(4).
De forma que temos:
R(1) = 0 -> a+b = 0
R(4) = 10 -> 4a + b = 10
a = 10/3
Mas R(4) =10 e não P(4).
De forma que temos:
R(1) = 0 -> a+b = 0
R(4) = 10 -> 4a + b = 10
a = 10/3
LucasIME- Fera
- Mensagens : 262
Data de inscrição : 22/03/2011
Idade : 30
Localização : Rio de Janeiro
Re: Uma questão de polinômio
Tens razão Lucas. Eu lí errado
Elcioschin- Grande Mestre
- Mensagens : 71436
Data de inscrição : 15/09/2009
Idade : 77
Localização : Santos/SP
Re: Uma questão de polinômio
Muito obrigada pelas resoluções, mestre Elcioschin, Adam Zunoeta e LucasIME... =]
Mas, só uma pergunta, gente: como eu faria, com os dados do resto, para descobrir o coeficiente do primeiro termo de P(x)?
Mas, só uma pergunta, gente: como eu faria, com os dados do resto, para descobrir o coeficiente do primeiro termo de P(x)?
Agente Esteves- Grupo
Velhos amigos do Fórum - Mensagens : 1267
Data de inscrição : 09/11/2010
Idade : 29
Localização : Rio de Janeiro - RJ
Re: Uma questão de polinômio
Essa é a forma de P(x):
P(x)=x²*(x-1)²+R(x)
Note que R(x) é o único termo do primeiro grau.
x²*(x-1)² ---> Grau maior que 2
R(x)=ax+b
ax=10x/3
P(x)=x²*(x-1)²+R(x)
Note que R(x) é o único termo do primeiro grau.
x²*(x-1)² ---> Grau maior que 2
R(x)=ax+b
ax=10x/3
Adam Zunoeta- Monitor
- Mensagens : 4223
Data de inscrição : 25/08/2010
Idade : 34
Localização : Cuiabá
Re: Uma questão de polinômio
Ah, sim! Então o coeficiente de primeiro grau de P(x) é o coeficiente de primeiro grau do resto! Muito obrigada pela explicação de novo. ^_^
Agente Esteves- Grupo
Velhos amigos do Fórum - Mensagens : 1267
Data de inscrição : 09/11/2010
Idade : 29
Localização : Rio de Janeiro - RJ
Re: Uma questão de polinômio
Tenho o gabarito desta questão e a resposta correta é -1.
Pelo enunciado temos que:
P(x) = (x²+x)(x²-3) + R(x)
P(x) = (x²+x)(x²-3) + ax + b
P(x) = x^4 + x^3 -3x² (a-3)x + b
A partir da divisão desse polinômio por (x-1) percebe-se que a = b, com isso:
4a + b = 10
5a = 10
a = 2
Sendo a = 2 o coeficiente (a-3) do termo de grau um é -1.
Pelo enunciado temos que:
P(x) = (x²+x)(x²-3) + R(x)
P(x) = (x²+x)(x²-3) + ax + b
P(x) = x^4 + x^3 -3x² (a-3)x + b
A partir da divisão desse polinômio por (x-1) percebe-se que a = b, com isso:
4a + b = 10
5a = 10
a = 2
Sendo a = 2 o coeficiente (a-3) do termo de grau um é -1.
Rodrigo da Mata- Iniciante
- Mensagens : 5
Data de inscrição : 06/09/2012
Idade : 29
Localização : Cabo Frio
Re: Uma questão de polinômio
O enunciado NÃO diz que o divisor ou o quociente é (x² - 3)
Ele diz que ambos são (x² - x). De onde você concluiu que um deles é (x² - 3) ?
Assim, a solução apresentada pelo Adam, para o enunciado apresentado, está correta.
Ele diz que ambos são (x² - x). De onde você concluiu que um deles é (x² - 3) ?
Assim, a solução apresentada pelo Adam, para o enunciado apresentado, está correta.
Elcioschin- Grande Mestre
- Mensagens : 71436
Data de inscrição : 15/09/2009
Idade : 77
Localização : Santos/SP
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