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Uma questão de polinômio

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Uma questão de polinômio Empty Uma questão de polinômio

Mensagem por Agente Esteves Dom 27 Nov 2011, 16:37

Um polinômio P(x) é divisível pelo binômio (x - 1). Dividindo-o por (x² - x), obtém-se o quociente Q(x) = (x² - x) e o resto R(x). Se R(4) = 10, então determine o coeficiente do termo de primeiro grau de P(x).


Estou sem gabarito para essa questão.
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Mensagem por Elcioschin Dom 27 Nov 2011, 16:54

P(x) divisível por (x - 1) -----> P(1) = 0

P(x) = Q(x)*(x² - x) + R(x) ----> P(x) = (x² - x)*(x² - x) + ax + b

p(x) = x*(x - 1)*x*(x - 1) + ax + b ----> P(x) = (x - 1)²*x² + ax + b

Para x = 1 ----> P(1) = (1 - 1)²*1¹ + a + b -----> a + b = 0 -----> I

Para x = 4 ----> P(4) = (4 - 1)²*4² + 4a + b ----> 10 = 144 + 10a + b ----> II

Resolvendo I e II ----> a = -134/3

Seria isto Raquel?
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Mensagem por Adam Zunoeta Dom 27 Nov 2011, 16:57

Um polinômio P(x) é divisível pelo binômio (x - 1). Dividindo-o por (x² - x), obtém-se o quociente Q(x) = (x² - x) e o resto R(x). Se R(4) = 10, então determine o coeficiente do termo de primeiro grau de P(x).

P(x)=(x-1)*Q1(x)+Ro(x)

Como P(x) é divisível por x-1, então :

Pelo teorema do resto temos:

P(1)=0

P(x)=(x²-x)*(x² - x)+R(x)

P(x)=x²*(x-1)²+R(x)

R(x) é na pior das hipóteses do primeiro grau, então:

R(x)=ax+b

Sabemos que P(1)=0

Então:

P(1)=R(1) ---> R(1)=0

a+b=0 ---> b=-a

R(4)=10

10=4a-a

a=10/3

b=-10/3

R(x)=(10x-10)/3


Última edição por Adam Zunoeta em Dom 27 Nov 2011, 17:00, editado 1 vez(es)
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Mensagem por LucasIME Dom 27 Nov 2011, 17:00

Estava indo pelo caminho certo, Elcioschin.
Mas R(4) =10 e não P(4).

De forma que temos:

R(1) = 0 -> a+b = 0
R(4) = 10 -> 4a + b = 10

a = 10/3
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Mensagem por Elcioschin Dom 27 Nov 2011, 17:05

Tens razão Lucas. Eu lí errado
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Mensagem por Agente Esteves Dom 27 Nov 2011, 17:06

Muito obrigada pelas resoluções, mestre Elcioschin, Adam Zunoeta e LucasIME... =]

Mas, só uma pergunta, gente: como eu faria, com os dados do resto, para descobrir o coeficiente do primeiro termo de P(x)?
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Mensagem por Adam Zunoeta Dom 27 Nov 2011, 17:09

Essa é a forma de P(x):

P(x)=x²*(x-1)²+R(x)

Note que R(x) é o único termo do primeiro grau.

x²*(x-1)² ---> Grau maior que 2

R(x)=ax+b

ax=10x/3

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Mensagem por Agente Esteves Dom 27 Nov 2011, 17:12

Ah, sim! Então o coeficiente de primeiro grau de P(x) é o coeficiente de primeiro grau do resto! Muito obrigada pela explicação de novo. ^_^
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Mensagem por Rodrigo da Mata Seg 01 Jul 2013, 15:43

Tenho o gabarito desta questão e a resposta correta é -1.

Pelo enunciado temos que:
P(x) = (x²+x)(x²-3) + R(x)
P(x) = (x²+x)(x²-3) + ax + b
P(x) = x^4 + x^3 -3x² (a-3)x + b

A partir da divisão desse polinômio por (x-1) percebe-se que a = b, com isso:

4a + b = 10
5a = 10
a = 2

Sendo a = 2 o coeficiente (a-3) do termo de grau um é -1.

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Mensagem por Elcioschin Seg 01 Jul 2013, 18:30

O enunciado NÃO diz que o divisor ou o quociente é (x² - 3)
 
Ele diz que ambos são (x² - x). De onde você concluiu que um deles é (x² - 3) ?

Assim, a solução apresentada pelo Adam, para o enunciado apresentado, está correta.
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