Equação do segundo grau

por camilafisica Dom 4 Fev - 19:38

Considere a parábola definida pela equação cartesiana: y^2 – 4y – 8x + 12 = 0. Qual é a distância entre o vértice da parábola e o ponto (0,1)?
A) 2
B)Raiz quadrada de 2

C) 3
D) Raiz quadrada de 3

Resposta: B

Desde já agradeço a colaboração.

por **Giovana Martins** Dom 4 Fev - 20:02

Vou resolver a questão como se estivéssemos lidando com uma função do segundo grau comum.

Para isso vou manipular a igualdade.

[latex]\\\mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=f(y)=\frac{1}{8}(y^2-4y+12)\ \therefore\ x=f(y)=0\to y=2\pm 2i\sqrt{2}}\\\\ \mathrm{Da\ simetria:y_v=\frac{(2+ 2i\sqrt{2})+(2- 2i\sqrt{2})}{2}=2\ \therefore\ x_v=f(2)=1\ \therefore\ V(1,2)}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ D=\sqrt{(1-0)^2+(2-1)^2}\ \therefore\ D=\sqrt{2}}[/latex]

Há outras formas de resolver o problema. Eu só não me lembro muito bem como funciona a parte de cônicas, motivo pelo qual resolvi como se fosse uma equação do segundo grau comum.

Ver link para melhorar o entendimento acerca das cônicas deste estilo: https://br.neurochispas.com/pre-calculo/equacao-da-parabola-com-vertice-fora-da-origem/

por aitchrpi Dom 4 Fev - 20:30

Eu resolveria de forma parecida, mas encontraria o vértice assim:

Como o coeficiente que acompanha y^2 é positivo (1), a concavidade da parabola está voltada para o eixo x positivo. Portanto, o x do vértice é o valor mínimo que a função assume. Manipulando a função,

[latex]\begin{align*} f(y) &= \frac{1}{8}\(y^2 - 4y + 12) = \frac{1}{8} (y^2 - 2\cdot2\cdot y + 4 + 8 ) \\ & = \frac{1}{8}\left [ (y - 2)^2 + 8\right ] \\ \end{align}[/latex]

Ou seja, y = 2 e x = f(2) = 1. Logo, a distância do vértice até o ponto (0, 1) é igual a raiz((1-0)^2 + (2-1)^2) = raiz(2)

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