Geometria analítica

por OneWayRoadLv5 Qua 25 Out 2023, 19:01

Ache as equações dos lados de um triângulo, sendo o vértice B(-4,-5) e as equações de duas alturas, 5x+3y-4=0 e 3x+8y+13=0.

por **Elcioschin** Qua 25 Out 2023, 21:13

por **Medeiros** Qua 25 Out 2023, 21:26

Resp.:
3x - 5y - 13 = 0
8x - 3y + 17 = 0
5x + 3y - 1 = 0

agora estou na rua com celular, não dá para fazer muita coisa; chegando em casa posto com cálculos.

por **Medeiros** Qui 26 Out 2023, 02:03

triângulo:
vértice A=(-4, -5)
alturas:
--> r: 5x + 3y - 4 = 0 -----------> y = (-5/3)x + 4/3 ------> m_r = -5/3
--> s: 3x + 8y + 13 = 0 -------> y = (-3/8)x - 13/8 -----> m_s = -3/8

[latex]\\A \notin r\ e\ A \notin s [/latex], então A é o vértice independente das fornecidas alturas do triângulo. Agora podemos fazer o desenho da situação, onde a, b e c referem-se às retas que contém os respectivos lados do triângulo.

[latex]\\ b\perp r[/latex] -----> m_b = 3/5
[latex]\\ A \in b[/latex] -----> (y + 5) = (3/5).(x + 4) -----> y = 3x/5 + 12/5 - 5

.:. b: y = (3/5)x - 13/5 <---> 3x - 5y - 13 = 0

[latex]\\ c\perp s[/latex] -----> m_c = 8/3
[latex]\\ A \in c[/latex] -----> (y + 5) = (8/3).(x + 4) -----> y = 8x/3 + 32/3 - 5

.:. c: y = (8/3)x + 17/3 <---> 8x - 3y + 17 = 0

B = c Ո r -----> -5x/3 + 4/3 = 8x/3 + 17/3 ................(x3)
13x = -13 ---> x = -1 ---> y = 3 ----> B=(-1, 3)

C = b Ո s -----> -3x/8 - 13/8 = 3x/5 _ 13/5 ..............(x40)
-15x - 65 = 24x - 104
39x = 39 ---> x = 1 ---> y = -2 ----> C=(1, -2)

[latex]\\ a=\overleftrightarrow{BC}[/latex]

[latex]\\ a:\,\, \begin{vmatrix} x & y & 1\\ -1 & 3 & 1\\ 1 & -2 & 1 \end{vmatrix}=0\ \to\ \mathbf{5x+2y-1=0}[/latex]

Segue plotagem da situação real. Note que a altura r, ref. ao vértice B, cai fora dos limites do triângulo ABC.

por **petras** Qui 26 Out 2023, 10:22

Medeiros escreveu:Resp.:
3x - 5y - 13 = 0
8x - 3y + 17 = 0
5x + 3y - 1 = 0

agora estou na rua com celular, não dá para fazer muita coisa; chegando em casa posto com cálculos.

Esse lado 5x+3y-1 = 0 não seria 5x+2y-1=0, que liga os pontos BC?

por OneWayRoadLv5 Qui 26 Out 2023, 13:23

petras escreveu:
Medeiros escreveu:Resp.:
3x - 5y - 13 = 0
8x - 3y + 17 = 0
5x + 3y - 1 = 0

agora estou na rua com celular, não dá para fazer muita coisa; chegando em casa posto com cálculos.
Esse lado 5x+3y-1 = 0 não seria 5x+2y-1=0, que liga os pontos BC?

Sim, jogando determinante em B e C chegamos a 5x+2y-1=0, deve ter sido erro de digitação.

por **Medeiros** Sex 27 Out 2023, 02:00

petras escreveu:
Medeiros escreveu:Resp.:
3x - 5y - 13 = 0
8x - 3y + 17 = 0
5x + 3y - 1 = 0

agora estou na rua com celular, não dá para fazer muita coisa; chegando em casa posto com cálculos.
Esse lado 5x+3y-1 = 0 não seria 5x+2y-1=0, que liga os pontos BC?

Sim, Petras, tens razão, seria e é. E obrigado pela observação, eu nem tinha notado. Esse caso foi erro de digitação mas como a postagem com os cálculos que fiz na sequência está toda correta, acho que isso não irá prejudicar ninguém.