Lei de formação

1²+2²+3²+...+n² = n(n+1)(2n+1)
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Eu queria saber como eu faço para descobrir leis de formação como essas.

1³+2³+3³+...+n³ = [latex]\left [\frac{n(n+1)}{2} \right ]^{2}[/latex]


Exemplo, como eu sei que a lei de formação dessa sequência é [latex]\left [\frac{n(n+1)}{2} \right ]^{2}[/latex]?


(Lembrando que as duas leis de formação são válidas para todo n E N* pelo princípio da indução finita.)

Sim, o que eu queria entender é como chegar em leis de formações de sequências, por exemplo a pessoa me dá uma sequência e eu queria saber como descobrí-la, assim como aconteceu nestes dois exemplos que eu citei, alguém inventou uma sequência, e depois uma mesma pessoa (ou outra) descobriu sua lei de formação. 
Se puder demonstrar essas leis de formação sem ser por PIF eu agradeço, porque por PIF eu demonstro que uma lei de formação que alguém "montou" funciona, por exemplo. Mas o que eu queria é "montar" uma lei de formação válida baseada em uma sequência.
Por exemplo, quando eu invento uma lei de formação eu consigo chegar a uma sequência facilmente, mas e o processo inverso? Se eu inventar uma sequência como eu faço para chegar a lei de formação dessa?

Outros modos: 

https://www.quora.com/What-is-the-sum-of-1%C2%B2-2%C2%B2-3%C2%B2-n%C2%B2https://vestibulares.estrategia.com/public/questoes/Determine-valor-soma158e14b358/

https://www.quora.com/What-is-the-sum-of-1%C2%B2-2%C2%B2-3%C2%B2-n%C2%B2

https://www.youtube.com/watch?v=NcSQPqF-xF0

Se vc procurar no Google, encontrará outros modos