(UFPR 2009) Equação segmentária da reta

Considere o hexágono regular inscrito na circunferência de raio 2 centrada na origem do sistema de coordenadas cartesianas, conforme representado na figura ao lado. Nessas condições, é INCORRETO afirmar:

a) A equação da circunferência é x² + y ² = 4
b) O triângulo com vértices nos pontos B, D e F é equilátero.
c) A distância entre os pontos A e D é 4.
d) A equação da reta que passa pelos pontos A e C pode ser escrita na forma px + qy = r, com r = 0
e) A equação da reta que passa pelos pontos B e D pode ser escrita na forma y = px + q, com p < 0 e 0 < q < 2.

R:

Preciso de ajuda para provar que a e) está correta e a d) incorreta. Não sei como chegar nessas equações.

Obrigado!

a) Equação da circunferência com centro em O(0, 0) e raio r = 2 --->

(x - 0)² + (y - 0)² = 2² --> x² + y² = 4

d)Os pontos A e C tem abcissa xA = xC = 1 ---> A reta AC é vertical e tem equação x = 1

outro modo.

d  ---->  FALSA porque:

Dentro do hexágono os triângulos OBC e OBA são equiláteros de base OB; então suas alturas são perpendiculares à base cortando-a ao meio; como a base OB = r = 2, as alturas caem na abscissa x=1.
Contudo essa alturas são o segmento AC -- lembrando, perpendicular ao eixo x -- e a reta que contém esse segmento tem equação
Note que a reta AC é perpendicular ao eixo x, paralela ao eixo y e não tem declividade definida.

Já a eq. dada na alternativa,
ou, isolando o x

Comparando as duas equações (em negrito) percebemos que não há como serem iguais pois a segunda depende da variável y enquanto a primeira é uma constante, ou seja, nunca serão iguais; ou, dito de outra forma, nunca teremos sempre

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e  ----->  VERDADE porque:

Triângulo ODE é equilátero de lado 2  ---->  altura = ordenada de D = 2√3/2  ---->  Dy = √3
E Dx é o pé da altura que cai no ponto médio da base, logo Dx = -1
E temos o ponto B = (2, 0)

A reta BD tem declividade
p = (yD - yB)/(xD - xB) = (√3 - 0)/(-1 - 2)  ----->  p = -√3/3 ..................... ≡  -30º = 150º
(poderíamos ter percebido isso facilmente considerando a diagonal do losango BODC)

Escrevendo a eq. da reta BD  ----->  y = -(√3/3).x + q
o ponto B(2, 0) pertence à reta, substituindo  ----->  0 = -(√3/3).2 + q  ----->  q = 2√3/3 ≈ 3,4/3 ≈ 1,13

Gatssby,
me desculpe mas minha resposta acima está muito enrolada, muito comprida, falta objetividade. Me distraí divertindo-me com a resolução e esqueci o principal: responder à pergunta da questão. É isto que deve ser feito da forma mais prática possível e eu não fiz. Farei agora.


d) A equação da reta que passa pelos pontos A e C pode ser escrita na forma px + qy = r, com r = 0

com r=0 a eq. fica  --->  px + qy = 0  ----->  y = -(p/q).x
Esta equação é da forma y = kx e passa pela origem. Ainda, o sinal negativo indica que a declividade é negativa, ou seja, a reta ocupa os 2º e 4º quadrantes. É uma reta inclinada.
Porém a reta AC é paralela ao eixo dos y (perpendicular a x), não tem declividade e nem depende de y, i.e., não deve ter y na sua equação.


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e) A equação da reta que passa pelos pontos B e D pode ser escrita na forma y = px + q, com p < 0 e 0 < q < 2.

A reta BD tem declividade e não passa pela origem, portanto pode ser escrita na forma --->  y = px + q  ----> ok

y = px + q ......... para x=0 esta reta cruza o eixo dos y no termo independente (q)  --->  y = q
olhando a figura vemos que a reta BD corta o eixo dos y dentro do raio da circunferência (lembrando, r=2) e acima do zero.

Ainda, a reta BD tem declividade negativa (ângulo com a horizontal maior que 90º) e na equação da reta a declividade é dada pelo termo dependente (p). Neste caso, em


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Como você vê não era necessário fazer qualquer conta, bastava esse raciocínio mental. E na hora do teste é o que devemos fazer.