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Divisibilidade/ Princípio da Indução Finita

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Resolvido Divisibilidade/ Princípio da Indução Finita

Mensagem por BEKJINU Qui 26 Jan 2023, 11:24

Relembrando a primeira mensagem :

Mostre que para todo n≥3, n! pode ser escrito como a soma de n divisores distintos dele mesmo.


Última edição por BEKJINU em Qui 26 Jan 2023, 20:43, editado 1 vez(es)
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Resolvido Re: Divisibilidade/ Princípio da Indução Finita

Mensagem por JaquesFranco Sex 27 Jan 2023, 09:53

JaquesFranco escreveu:Da pra fazer algo assim, e provar que sempre é possível.

3! = 1 + 2 + 3
4! = 4 + 8 + 12 = 1 + 3 + 8 + 12
5! = 5 + 15 + 40 + 60 = 1 + 4 + 15 + 40 + 60

Vou demonstrar que é sempre possível escrever [latex] n! = 1 + x_1 + x_2 + x_3 + ... + x_{n-1}[/latex], que equivale a mostrar que n! pode ser escrito como a soma de n divisores distintos de n!

Para n = 3:
3! = 1 + 2 + 3

Para (n+1):
[latex](n+1)! = (n+1)(n!) = (n+1)(1 + x_1 + x_2 + x_3 + ... + x_{n-1}) = \\ 1 + n + (n+1)(x_1) + (n+1)(x_2) + ... +(n+1)(x_{n-1}) [/latex]
Perceba que todas as parcelas são distintas

Acho que seria isso.
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Matheus Tsilva e BEKJINU gostam desta mensagem

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Resolvido Re: Divisibilidade/ Princípio da Indução Finita

Mensagem por BEKJINU Sex 27 Jan 2023, 10:16

JaquesFranco escreveu:
JaquesFranco escreveu:Da pra fazer algo assim, e provar que sempre é possível.

3! = 1 + 2 + 3
4! = 4 + 8 + 12 = 1 + 3 + 8 + 12
5! = 5 + 15 + 40 + 60 = 1 + 4 + 15 + 40 + 60

Vou demonstrar que é sempre possível escrever [latex] n! = 1 + x_1 + x_2 + x_3 + ... + x_{n-1}[/latex], que equivale a mostrar que n! pode ser escrito como a soma de n divisores distintos de n!

Para n = 3:
3! = 1 + 2 + 3

Para (n+1):
[latex](n+1)! = (n+1)(n!) = (n+1)(1 + x_1 + x_2 + x_3 + ... + x_{n-1}) = \\ 1 + n + (n+1)(x_1) + (n+1)(x_2) + ... +(n+1)(x_{n-1}) [/latex]
Perceba que todas as parcelas são distintas

Acho que seria isso.
Perfeito, obrigado pela ajuda!!
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Resolvido Re: Divisibilidade/ Princípio da Indução Finita

Mensagem por Matheus Tsilva Sex 27 Jan 2023, 10:26

boaaa, Jaques

esqueci de verificar se k(k!) dividia o (k+1)!, e realmente não divide

valeuu
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Resolvido Re: Divisibilidade/ Princípio da Indução Finita

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