Equações Trigonométricas (Rufino 5)
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Equações Trigonométricas (Rufino 5)
por edpl22 Ter 20 Dez 2022, 16:30
Prove que tg(π/7), tg(2π/7) e tg(4π/7) são as raízes de x³+x²√7-7x+√7=0
edpl22- Iniciante
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Re: Equações Trigonométricas (Rufino 5)
por Fibonacci13 Ter 20 Dez 2022, 17:36
Para provar que tg(π/7), tg(2π/7) e tg(4π/7) são as raízes da equação x³+x²√7-7x+√7=0, podemos utilizar o Teorema de De Moivre.
O Teorema de De Moivre afirma que, para qualquer inteiro n e qualquer número complexo z, temos (cos θ + i sen θ)^n = cos(nθ) + i sen(nθ).
Com isso, podemos expressar cada uma das raízes da equação dada como (cos θ + i sen θ)^(1/3), onde θ é um ângulo entre 0 e 2π.
Então, as raízes da equação x³+x²√7-7x+√7=0 são:
Portanto, tg(π/7), tg(2π/7) e tg(4π/7) são as raízes da equação x³+x²√7-7x+√7=0.
O Teorema de De Moivre afirma que, para qualquer inteiro n e qualquer número complexo z, temos (cos θ + i sen θ)^n = cos(nθ) + i sen(nθ).
Com isso, podemos expressar cada uma das raízes da equação dada como (cos θ + i sen θ)^(1/3), onde θ é um ângulo entre 0 e 2π.
Então, as raízes da equação x³+x²√7-7x+√7=0 são:
- (cos(π/3) + i sen(π/3))^(1/3) = cos(π/7) + i sen(π/7) = tg(π/7)
- (cos(2π/3) + i sen(2π/3))^(1/3) = cos(2π/7) + i sen(2π/7) = tg(2π/7)
- (cos(4π/3) + i sen(4π/3))^(1/3) = cos(4π/7) + i sen(4π/7) = tg(4π/7)
Portanto, tg(π/7), tg(2π/7) e tg(4π/7) são as raízes da equação x³+x²√7-7x+√7=0.
Fibonacci13- Mestre Jedi
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Re: Equações Trigonométricas (Rufino 5)
por edpl22 Ter 20 Dez 2022, 18:50
Primeiramente, obrigado pela rápida resposta.Fibonacci13 escreveu:Para provar que tg(π/7), tg(2π/7) e tg(4π/7) são as raízes da equação x³+x²√7-7x+√7=0, podemos utilizar o Teorema de De Moivre.
O Teorema de De Moivre afirma que, para qualquer inteiro n e qualquer número complexo z, temos (cos θ + i sen θ)^n = cos(nθ) + i sen(nθ).
Com isso, podemos expressar cada uma das raízes da equação dada como (cos θ + i sen θ)^(1/3), onde θ é um ângulo entre 0 e 2π.
Então, as raízes da equação x³+x²√7-7x+√7=0 são:
Portanto, tg(π/7), tg(2π/7) e tg(4π/7) são as raízes da equação x³+x²√7-7x+√7=0.
Fiquei com dúvida em relação ao cis(π/3), cis(2π/3) e cis(4π/3), não conseguir achar a origem de tais valores. Além disso, porque que cis(π/3) elevado a 1/3 não é cis(π/9). Acho também que tg(kπ/7) não seria igual a cis(kπ/7), mas sim igual ao coeficiente angular do vetor que corresponde a tal z complexo. Mesmo assim, achei interessante usar complexos para resolver o problema, só não ficaram claros alguns pontos para mim.
edpl22- Iniciante
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