Sequências e Séries
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Sequências e Séries
por William Minerva Sáb 26 Nov 2022, 15:31
A sequência [latex]a_n=\frac{2n-3}{3n+4}[/latex] é crescente, decrescente ou não monótona?
William Minerva- Recebeu o sabre de luz
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Re: Sequências e Séries
por al171 Seg 09 Jan 2023, 23:09
\[
a_n = \frac{2n-3}{3n+4} \ \land \ a_{n+1} = \frac{2(n+1)-3}{3(n+1)+4} = \frac{2n -1}{3n + 7}
\]
Fazendo \(a_{n+1} - a_n\):
\[
a_{n+1} - a_n = \frac{2n-1}{3n+7} - \frac{2n-3}{3n+4} = \frac{(2n-1)(3n+4) - (2n-3)(3n+7)}{(3n+7)(3n+4)} = \frac{ 5n - 4 - 5n - 21}{(3n+7)(3n+4)} = - \frac{25}{(3n+7)(3n+4)} < 0 , \forall \ n \in \mathbb{N}.
\]
Assim, como o termo sucessor é sempre menor que seu antecessor para qualquer valor de \(n\), a série é decrescente.
a_n = \frac{2n-3}{3n+4} \ \land \ a_{n+1} = \frac{2(n+1)-3}{3(n+1)+4} = \frac{2n -1}{3n + 7}
\]
Fazendo \(a_{n+1} - a_n\):
\[
a_{n+1} - a_n = \frac{2n-1}{3n+7} - \frac{2n-3}{3n+4} = \frac{(2n-1)(3n+4) - (2n-3)(3n+7)}{(3n+7)(3n+4)} = \frac{ 5n - 4 - 5n - 21}{(3n+7)(3n+4)} = - \frac{25}{(3n+7)(3n+4)} < 0 , \forall \ n \in \mathbb{N}.
\]
Assim, como o termo sucessor é sempre menor que seu antecessor para qualquer valor de \(n\), a série é decrescente.
al171- Fera
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