PiR2
Gostaria de reagir a esta mensagem? Crie uma conta em poucos cliques ou inicie sessão para continuar.

Imagem da função

3 participantes

Ir para baixo

Imagem da função Empty Imagem da função

Mensagem por ViajanteNoturno Qua 23 Nov 2022, 18:55

(FUVEST-ETE 2022) Seja f: ]0, 1[ → ℝ definida por [latex]f(x)=\frac{2}{x}+\frac{1}{x-1}[/latex]. O conjunto imagem da função é:

a) ]1, +∞[
b) ]0, +∞[
c) [0, +∞[
d) ℝ
e) {x ∈ ℝ: x ≠ 0}

Gabarito: D
ViajanteNoturno
ViajanteNoturno
Iniciante

Mensagens : 15
Data de inscrição : 05/10/2020

Ir para o topo Ir para baixo

Imagem da função Empty Re: Imagem da função

Mensagem por André Meneses Qua 23 Nov 2022, 22:13

Oi, 

Avaliando o comportamento da função para valores de x próximos dos limites do intervalo aberto:

Quando x se aproxima de zero, a fração 2/x cresce para um valor muito grande, de forma que a função pode assumir valores tão grandes quanto se queira, bastando um x pequeno o suficiente. Assim, diz-se que função tende ao infinito quando x se aproxima de zero. De maneira semelhante, quando x se aproxima de 1, a fração 1/(x-1) assume valores tão pequenos quanto se queira, diz-se que função tende a menos infinito. Segue-se que a imagem da função é o intervalo ]-∞,+∞[, portanto o conjunto dos números reais ℝ.

André Meneses
Recebeu o sabre de luz
Recebeu o sabre de luz

Mensagens : 166
Data de inscrição : 12/07/2016
Idade : 21
Localização : Natal - RN

Ir para o topo Ir para baixo

Imagem da função Empty Re: Imagem da função

Mensagem por ViajanteNoturno Qui 24 Nov 2022, 18:45

André Meneses escreveu:Oi, 

Avaliando o comportamento da função para valores de x próximos dos limites do intervalo aberto:

Quando x se aproxima de zero, a fração 2/x cresce para um valor muito grande, de forma que a função pode assumir valores tão grandes quanto se queira, bastando um x pequeno o suficiente. Assim, diz-se que função tende ao infinito quando x se aproxima de zero. De maneira semelhante, quando x se aproxima de 1, a fração 1/(x-1) assume valores tão pequenos quanto se queira, diz-se que função tende a menos infinito. Segue-se que a imagem da função é o intervalo ]-∞,+∞[, portanto o conjunto dos números reais ℝ.
Não há uma forma mais algébrica de resolver? Algo mais palpável de explicar para um aluno do ensino médio.
ViajanteNoturno
ViajanteNoturno
Iniciante

Mensagens : 15
Data de inscrição : 05/10/2020

Ir para o topo Ir para baixo

Imagem da função Empty Re: Imagem da função

Mensagem por Elcioschin Qui 24 Nov 2022, 19:08

Restrições da função ---> os denominadores não podem ser nulos ---> x ≠ 0 , x ≠ 1

f(x) = 2/x + 1/(x - 1) ---> f(x) = [2.(x - 1) + 1.x]/x.(x - 1) ---> f(x) = (3.x - 1)/x.(x - 1)

Raiz da função: para x = 1/3 ---> f(1/3) = 0

Faça a tabela de sinais (varal) para os valores x = 0, x = 1/3 , x = 1 e determine os sinais de f(x) nos intervalos x < 0 , 0 < x < 1/3 , 1/3 < x < 1 , x > 1

Com estas informações faça um esboço do gráfico, levando em contas os sinais resultantes

Desenhe, no gráfico a reta pontilhada x = 1 (a reta x = 0 é o próprio eixo y)
Dizer que x ≠ 0 , x ≠ 1 significa que o gráfico nunca toca nestas retas, isto é, o gráfico é assintótico à estas retas
Elcioschin
Elcioschin
Grande Mestre
Grande Mestre

Mensagens : 67540
Data de inscrição : 15/09/2009
Idade : 76
Localização : Santos/SP

Ir para o topo Ir para baixo

Imagem da função Empty Re: Imagem da função

Mensagem por ViajanteNoturno Ontem à(s) 16:00

Elcioschin escreveu:Restrições da função ---> os denominadores não podem ser nulos ---> x ≠ 0 , x ≠ 1

f(x) = 2/x + 1/(x - 1) ---> f(x) = [2.(x - 1) + 1.x]/x.(x - 1) ---> f(x) = (3.x - 1)/x.(x - 1)

Raiz da função: para x = 1/3 ---> f(1/3) = 0

Faça a tabela de sinais (varal) para os valores x = 0, x = 1/3 , x = 1 e determine os sinais de f(x) nos intervalos x < 0 , 0 < x < 1/3 , 1/3 < x < 1 , x > 1

Com estas informações faça um esboço do gráfico, levando em contas os sinais resultantes

Desenhe, no gráfico a reta pontilhada x = 1 (a reta x = 0 é o próprio eixo y)
Dizer que x ≠ 0 , x ≠ 1 significa que o gráfico nunca toca nestas retas, isto é, o gráfico é assintótico à estas retas
Posso dizer que a soma de duas funções cuja imagem são todos os reais irá possuir mesma imagem?
ViajanteNoturno
ViajanteNoturno
Iniciante

Mensagens : 15
Data de inscrição : 05/10/2020

Ir para o topo Ir para baixo

Imagem da função Empty Re: Imagem da função

Mensagem por Elcioschin Ontem à(s) 18:18

Sim
Elcioschin
Elcioschin
Grande Mestre
Grande Mestre

Mensagens : 67540
Data de inscrição : 15/09/2009
Idade : 76
Localização : Santos/SP

Ir para o topo Ir para baixo

Imagem da função Empty Re: Imagem da função

Mensagem por Conteúdo patrocinado


Conteúdo patrocinado


Ir para o topo Ir para baixo

Ir para o topo

- Tópicos semelhantes

 
Permissões neste sub-fórum
Não podes responder a tópicos