CENTRO DE MASSA

Calcule as coordenadas do centro de massa de uma lâmina uniforme (densidade superficial constante), a qual tem formato delimitado pelas equações x=0, x=1, y=0 e y = x^2 + 1.

marcosphysics escreveu:Calcule as coordenadas do centro de massa de uma lâmina uniforme (densidade superficial constante), a qual tem formato delimitado pelas equações x=0, x=1, y=0 e y = x^2 + 1.

O centro de massa é o ponto \( (\overline x, \overline y)\) onde

\( \displaystyle \overline x = \dfrac 1M \iint_D x \rho(x,y) dA \)

\( \displaystyle \overline y = \dfrac 1M \iint_D y \rho(x,y) dA \)

\( \displaystyle M = \iint_D \rho(x,y) dA \)

sendo \(\rho\) a densidade. Daí basta calcular essas integrais, lembrando que a densidade é 1:

\(\displaystyle M= \int_0^1\int_0^{x^2+1} 1 \, dy dx = \int_0^1 x^2+ 1\, dx =\dfrac{x^3}3 + x \Bigg|_{x = 0}^{x = 1} = \dfrac 43\)

\(\displaystyle \overline x = \dfrac 34 \int_0^1\int_0^{x^2+1} x \, dy dx = \dfrac 34 \int_0^1 x(x^2+ 1) dx = \dfrac 34 \left( \dfrac{x^4}4 + \dfrac{x^2}2\right) \Bigg|_{x = 0}^{x = 1} = \dfrac 9{16}\)

\(\displaystyle \overline y =\dfrac 34  \int_0^1\int_0^{x^2+1} y \, dy dx =  \dfrac 34 \int_0^1 \dfrac{(x^2+ 1)^2}2 dx =\dfrac 34 \left( \dfrac{x^5}{10} + \dfrac{x^3}3 + \dfrac x2 \right) \Bigg|_{x = 0}^{x = 1} = \dfrac 7{10}\)

Daí a resposta será \(\left( \dfrac{9}{16}, \dfrac 7{10} \right) \) se eu não errei nenhuma conta