Álgebra
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Se [latex]1989^{a} = 13[/latex] e [latex]1989^{b} = 17[/latex] então o valor de [/latex]117^{\frac{1-a-b}{2(1-b)}}[/latex] é igual a:
Souzz- Iniciante
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Re: Álgebra
Fatorando 1989, obtém-se 1989 = 9*13*17.
Fatorando 117, obtém-se 117 = 9*13.
[latex]1987^a = 13 \iff a = \frac{\log 13}{\log 1987} = \log_{1987}13[/latex]
[latex]1987^a = 17 \iff b = \frac{\log 17}{\log 1987} = \log_{1987}17[/latex]
[latex]117^{\frac{1-a-b}{2(1-b)}} = \sqrt{117}\cdot 117^{\frac{-a}{2(1-b)}} [/latex]
[latex] \begin{align*}
\frac{-a}{2(1-b)} &= \frac{-\log_{1987} 13}{2\cdot(1-\log_{1987} 17)}\\ &= -\dfrac{1}{2}\cdot \frac{\log_{1987} 13}{\log_{1987} \dfrac{1987}{17}}\\ &= -\dfrac{1}{2}\cdot \frac{\log_{1987} 13}{\log_{1987} 117} \\ &= -\dfrac{1}{2}\cdot \log_{117}{13} \end{align*} [/latex]
[latex]117^{\frac{1-a-b}{2(1-b)}} = \sqrt{117}\cdot 117^{\frac{-a}{2(1-b)}} = \sqrt{117}\cdot (117^{\log_{117}13})^{\frac{-1}{2}} = \sqrt{\frac{117}{13}} = \sqrt{9} = 3[/latex]
Fatorando 117, obtém-se 117 = 9*13.
[latex]1987^a = 13 \iff a = \frac{\log 13}{\log 1987} = \log_{1987}13[/latex]
[latex]1987^a = 17 \iff b = \frac{\log 17}{\log 1987} = \log_{1987}17[/latex]
[latex]117^{\frac{1-a-b}{2(1-b)}} = \sqrt{117}\cdot 117^{\frac{-a}{2(1-b)}} [/latex]
[latex] \begin{align*}
\frac{-a}{2(1-b)} &= \frac{-\log_{1987} 13}{2\cdot(1-\log_{1987} 17)}\\ &= -\dfrac{1}{2}\cdot \frac{\log_{1987} 13}{\log_{1987} \dfrac{1987}{17}}\\ &= -\dfrac{1}{2}\cdot \frac{\log_{1987} 13}{\log_{1987} 117} \\ &= -\dfrac{1}{2}\cdot \log_{117}{13} \end{align*} [/latex]
[latex]117^{\frac{1-a-b}{2(1-b)}} = \sqrt{117}\cdot 117^{\frac{-a}{2(1-b)}} = \sqrt{117}\cdot (117^{\log_{117}13})^{\frac{-1}{2}} = \sqrt{\frac{117}{13}} = \sqrt{9} = 3[/latex]
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