Análise combinatória

por holmesS Ter 08 Nov 2022, 20:17

(2019 – Conselho Regional de Medicina/AC)

O pai de 3 filhos, com idades diferentes, distribuiu 9 balas idênticas entre eles, de forma que o mais velho recebeu o dobro de balas do caçula e o filho do meio recebeu mais balas que o caçula e menos balas que o mais velho. O filho caçula recebeu X balas e o filho do meio recebeu Y balas. Com base nessa situação hipotética, julgue o item a seguir. Se alguém deseja distribuir 9 balas idênticas entre 3 pessoas, sem qualquer critério de distribuição, com cada uma delas recebendo pelo menos uma bala, então existem 28 maneiras de se fazer a distribuição.

()CERTO
()ERRADO

por **Mateus Meireles** Ter 08 Nov 2022, 20:49

Olá HolmesS,

A ideia desse problema é contar o número de soluções inteiras e positivas da equação x + y + z = 9, de maneira que x, y e z representam a quantidade de balas que cada pessoa recebe.

Como queremos garantir que cada pessoa receba pelo menos uma bala, uma ideia é trocar cada variável por x = x' + 1, y = y' + 1, z = z' + 1, e daí queremos calcular o número de soluções não negativas da equação

(x' + 1) + (y' + 1) + (z' + 1) = 9,

que é equivalente

x' + y' + z' = 6,

E o número de soluções não negativas dessa equação é 8!/6!2! = 28.

Assim, o item está correto.

por **Mateus Meireles** Ter 08 Nov 2022, 20:51

A ideia é pensar em "Combinação Completa" ou "Combinação com Repetição".

Caso você não conheça, recomendo que veja algumas resoluções do professor Josimar Silva no canal "Portal da Matemática - OBMEP" no youtube:

https://youtu.be/RZyAEQx_wS4

Faz um tempinho que vi os vídeos desse canal.. mas se não me engano, as aulas 28, 29, 30 e 31 tratam desse assunto de forma muito didática, daí fica como recomendação.

Abs.

por holmesS Ter 08 Nov 2022, 21:10

Mateus Meireles escreveu:Olá HolmesS,

A ideia desse problema é contar o número de soluções inteiras e positivas da equação x + y + z = 9, de maneira que x, y e z representam a quantidade de balas que cada pessoa recebe.

Como queremos garantir que cada pessoa receba pelo menos uma bala, uma ideia é trocar cada variável por x = x' + 1, y = y' + 1, z = z' + 1, e daí queremos calcular o número de soluções não negativas da equação

(x' + 1) + (y' + 1) + (z' + 1) = 9,

que é equivalente

x' + y' + z' = 6,

E o número de soluções não negativas dessa equação é 8!/6!2! = 28.

Assim, o item está correto.

por holmesS Ter 08 Nov 2022, 21:20

Mateus Meireles escreveu:Olá HolmesS,

A ideia desse problema é contar o número de soluções inteiras e positivas da equação x + y + z = 9, de maneira que x, y e z representam a quantidade de balas que cada pessoa recebe.

Como queremos garantir que cada pessoa receba pelo menos uma bala, uma ideia é trocar cada variável por x = x' + 1, y = y' + 1, z = z' + 1, e daí queremos calcular o número de soluções não negativas da equação

(x' + 1) + (y' + 1) + (z' + 1) = 9,

que é equivalente

x' + y' + z' = 6,

E o número de soluções não negativas dessa equação é 8!/6!2! = 28.

Assim, o item está correto.

Muito Obrigado!!

Tenho uma dúvida, se a questão pedisse para que dois irmãos tivessem a mesma quantia de balas, como proceder?

por **Mateus Meireles** Ter 08 Nov 2022, 23:48

holmesS escreveu:

Tenho uma dúvida, se a questão pedisse para que dois irmãos tivessem a mesma quantia de balas, como proceder?

Acho que nunca vi esse tipo de problema e não consigo pensar em nada inteligente, mas eu dividiria em casos:

Considerando o outro critério (cada irmão precisa receber pelo menos uma bola), a gente teria os seguintes casos:

i) dois irmãos com uma bola cada um e um irmão com sete bolas

Primeiramente, devemos determinar quais dois irmãos ficaram com as duas bolas. Há C3,2 = 3!/2!1! = 3 modos de escolher esses irmãos. Escolhidos, cada um ficará com uma bola, de maneira que o irmão não escolhido irá ficar com sete bolas.

ii) dois irmãos com duas bolas cada um e um irmão com 5 bolas.

Novamente, basta escolhermos dois irmãos para ficarem com duas bolas cada um. Isso pode ser feito de C3,2 = 3 modos.

iii) cada irmão com três bolas (se três irmãos possuem a mesma quantidade de bolas, dois irmãos também possuem).

Há apenas um modo de isso ocorrer.

iv) dois irmãos com quatro bolas cada um e um irmão com uma bola.

C3,2 = 3 modos de escolher dois irmãos para cada um receber quatro bolas.

Penso que a resposta seja 3 + 3 + 1 + 3 = 10 modos de realizar essa distribuição.

Veja que o que importa é quantidade de bolas que cada irmão recebe, já que as bolas são iguais.

Abs.