Trigonometria

Na figura abaixo, a circunferência possui raio 2 e os pontos A, B e C pertencem a ela. Os pontos A e B compartilham a mesma abscissa, enquanto B e C compartilham a mesma ordenada.




Em função de alfa, o valor da área do triângulo ABC é:

a) sen (2 alfa)
b) 4 sen (2 alfa) * cos (alfa)
c) 4 sen( 2 alfa)
d) 4 sen ( alfa)

Não tenho o gabarito

O alfa é um ângulo de uma reta que é tangente, logo ele vale metade do arco AB (isso é teoria), pela teoria do ângulo capaz, achamos o alfa no ângulo c

Usei o fato que a circ tá no centro do eixo e como o ponto médio de AC é o centro, usei a formula pra achar o x do ponto médio e o y do ponto médio.
Cheguei a conclusão na figura.

Como tá escrito na imagem, o lado AB vale 2x1 e BC vale 2y1

Agora uma coisa importante, o ponto A pertence a circ, portanto x²1+y²1=4

podemos usar a reciproca do teorema de Pitágoras pra provar que o triangulo é retângulo

4x²1+4y²1=16 -> x²1+y²1=4 <- isso é um fato, portanto o triangulo é retângulo.

Ou podemos usar o fato de que o diâmetro é um dos lados do triangulo e isso só ocorre quando este é retângulo.  

usando as relações trigonométricas
BC=4.cos(alfa/2)
AB=4.sen(alfa/2)

S=BC.AB/2 -> S=4.cos(alfa/2).2sen(alfa/2) -> S=4.sen(alfa)

OBS: Creio que há um pequeno erro no enunciado, pois o ponto A e B teriam ordenadas iguais e não abscissas, idem pro B e C.