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Quadrados com palitos

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Mensagem por renato35 Qui 13 Out 2022, 00:56

Um quadrado 1x1 são usados 4 palitos
Um quadrado 2x2 são usados 12 palitos
Um quadrado 3x3 são usados 24 palitos
Um quadrado 4x4 são usados 40 palitos
Um quadrado 5x5 são usados 60 palitos

Em um Quadrado n x n são usados 8580 palitos.Qual o valor de n?
Resposta : 65 x 65

Obrigado

renato35
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Mensagem por Arlindocampos07 Qui 13 Out 2022, 10:27

Olá. 

Vou mostrar como fiz, no entanto, não encontrei um modo de fazer usando apenas matemática de ensino fundamental:

Observemos que o número de palitos usados por quadrado cresce de acordo com uma progressão aritmética de ordem superior:

Quadrados com palitos Gif.latex?%5C%5C%284%2C12%2C24%2C40%2C60%2C...%29%5C%5C%288%2C12%2C16%2C20%2C...%29%5C%5C%284%2C4%2C4%2C4%2C.. Como fizemos duas subtrações entre termos consecutivos, ela tem ordem 2.

Dessa forma, a lei de formação para a progressão no número de palitos usados é da forma: Quadrados com palitos Gif

Vamos montar um sistema de equações usando os três primeiros termos  (4, 12, 24)

Quadrados com palitos Gif.latex?%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20A+B+C%3D4%5C%5C%204A+2B+C%3D12%5C%5C%209A+3B+C%3D24%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright

Resolvendo, achamos A = 2 e B = 2

Assim, o número de palitos de um quadrado n x n é dado por: 

Quadrados com palitos Gif

Se um quadrado tem 8580 palitos:

2n2 - 2n - 8580 = 0

Aplicando Bháskara, encontramos:

n = 65 ou n = -66 (não convém)

Logo, o quadrado é 65 x 65
Arlindocampos07
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Mensagem por renato35 Qui 13 Out 2022, 11:03

Muito obrigado!!!!!

renato35
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Mensagem por renato35 Ter 18 Out 2022, 07:42

tem outra maneira de resolver?

renato35
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Mensagem por Arlindocampos07 Seg 24 Out 2022, 10:44

renato35 escreveu:tem outra maneira de resolver?
Renato, ao meu ver: só por desenvolvimento lógico e braçal kkkk.

Veja que, a cada "dimensão" aumentada no quadrado, o aumento de palitos segue uma lógica de somar 4, 8, 12, 16, 20,... palitos à quantidade de palitos do quadrado anterior. Portanto, você poderia ir somando por essa lógica até chegar ao quadrado com 8580 palitos.
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Mensagem por petras Seg 24 Out 2022, 12:03

Arlindocampos07 escreveu:Olá. 

Vou mostrar como fiz, no entanto, não encontrei um modo de fazer usando apenas matemática de ensino fundamental:

Observemos que o número de palitos usados por quadrado cresce de acordo com uma progressão aritmética de ordem superior:

Quadrados com palitos Gif.latex?%5C%5C%284%2C12%2C24%2C40%2C60%2C...%29%5C%5C%288%2C12%2C16%2C20%2C...%29%5C%5C%284%2C4%2C4%2C4%2C.. Como fizemos duas subtrações entre termos consecutivos, ela tem ordem 2.

Dessa forma, a lei de formação para a progressão no número de palitos usados é da forma: Quadrados com palitos Gif

Vamos montar um sistema de equações usando os três primeiros termos  (4, 12, 24)

Quadrados com palitos Gif.latex?%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20A+B+C%3D4%5C%5C%204A+2B+C%3D12%5C%5C%209A+3B+C%3D24%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright

Resolvendo, achamos A = 2 e B = 2

Assim, o número de palitos de um quadrado n x n é dado por: 

Quadrados com palitos Gif

Se um quadrado tem 8580 palitos:

2n2 - 2n - 8580 = 0

Aplicando Bháskara, encontramos:

n = 65 ou n = -66 (não convém)

Logo, o quadrado é 65 x 65
Outra solução:
Perceba que podemos relacionar o número de palitos(N) com a n. de quadrados da base9n)
N = 2n2+2n=2n(n+1)
Portanto 8580 = 2n2+2n --> n = 65

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