Funções trigonométricas inversas - ITA

por Veredas7374 Qui 29 Set 2022, 12:06

(ITA SP) A equação em x,

[latex]arc tg (e^{x} + 2) - arc cotg (\frac{e^{x}}{e^{2x}-1}) = \frac{\pi }{4}, x \in \mathbb{R} - \left \{ 0 \right \}[/latex]

a) admite infinitas soluções, todas positivas
b) admite uma única solução, e esta é positiva.
c) admite três soluções que se encontram no intervalo [latex]]-\frac{5}{2}, \frac{3}{2}[[/latex]
d) admite apenas soluções negativas.
e) não admite solução.

Código:: Gabarito:B

por **Elcioschin** Qui 29 Set 2022, 12:53

Seja e^x = y ---> (e^x)² = y² ---> e^2.x = y²

arctg(y + 2) - arccotg[y/(y² - 1)] = pi/4

arctg(y + 2) - arctg[(y² - 1)/y] = pi/4

tg{arctg(y + 2) - arctg[(y² - 1)/y)]} = tg(pi/4)

tg(a - b) = (tga - tgb)/(1 + tga.tgb)

[(y + 2) - (y² - 1)/y][1 + (y + 2)*(y² - 1)/y] = 1

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