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Duplas com restrição

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Resolvido Duplas com restrição

Mensagem por RCDH Dom 11 Set 2022, 07:33

Quatro casais participam de uma gincana, na qual se formam quatro duplas de um homem e uma mulher. Sabendo-se que marido e mulher não podem formar uma dupla nesta gincana, de quantas maneiras diferentes podem ser formadas estas quatro duplas?

(a) 9
(b) 15
(c) 16
(d) 20
(e) 24

[sem gabarito]
---------------------------------------------

Posso usar partições não ordenadas para encontrar o número total de maneiras?
Acabei me perdendo na hora de aplicar a restrição.


Última edição por RCDH em Seg 12 Set 2022, 05:34, editado 1 vez(es)

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Resolvido Re: Duplas com restrição

Mensagem por tales amaral Dom 11 Set 2022, 14:25

Creio que a questão seja de permutação caótica. O morgado dedica 4 páginas ao assunto. As duplas podem ser simplificadas como a permutação da sequência 1234. Cada número representa uma esposa e cada posição um marido.

A resposta é [latex] D_4 = 4!\cdot\left(1- \dfrac{1}{1!} +\dfrac{1}{2!} -\dfrac{1}{3!}+\dfrac{1}{4!}\right) = 9 [/latex].
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Resolvido Re: Duplas com restrição

Mensagem por Elcioschin Dom 11 Set 2022, 15:29

Outro modo:

Sejam Aa , Bb , Cc, Dd os 4 casais

A pode formar dupla com b, c, d ---> 3 possibilidades

Suponha que A formou dupla com b ---> Ab

Neste caso B pode formar dupla com a, c, d ---> 3 possibilidades

Resta para C formar Cd e D formar Dc ---> 1 possibilidade

n = 3.3.1 ---> n = 9
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Resolvido Re: Duplas com restrição

Mensagem por RCDH Dom 11 Set 2022, 20:20

Muito obrigado!

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Resolvido Re: Duplas com restrição

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