Rufino, questão de aprofundamento ITA e IME questão 28

por Souzazz Qui 04 Ago 2022, 04:07

Um balanço infantil de massa M está
apoiado em um solo horizontal. Uma criança é
colocada na cadeirinha do balanço e o sistema
é deslocado até a posição em que a corda do
balanço esteja horizontal e então abandonado
com velocidade inicial nula. Suponha que a
massa do conjunto criança + cadeirinha seja
igual a m. Determine o valor mínimo do
coeficiente de atrito estático entre o solo e a
base do balanço de modo que não ocorra
movimento relativo entre ambos durante todo o
movimento da criança.
GABARITO C

por al171 Seg 08 Ago 2022, 15:09

Considere θ o menor ângulo entre o fio e a horizontal.

i) Conservação de energia

[/latex] mgr \sin \theta = \frac{mv^2}{2} [latex]

ii) Resultante centrípeta

[/latex] T - mg\sin \theta = \frac{mv^2}{r} [latex]

iii) Força de atrito aplicada ao balanço

[/latex] \begin{cases} \mu N = T \cos \theta \\ N = Mg + T\sin \theta \end{cases}[latex]

Resolvendo em μ, obtemos

[/latex] \mu = \frac{3m \sin \theta \cos \theta}{2M + 3 m \sin^2 \theta} [latex]

Embora essa resolução esteja incompleta, talvez alguém seja capaz de finalizá-la.

Correção: 2M + 3m·sin²θ → M + 3m·sin²θ

[/latex] \mu = \frac{3m \sin \theta \cos \theta}{M + 3 m \sin^2 \theta} = \frac{3m\sin(2\theta)}{2M + 3m(1-\cos (2\theta))} [latex]

O coeficiente de atrito estático deve ser tal que a força de atrito, na situação de maior estresse horizontal, garanta que o balanço permaneça parado em relação ao chão. Assim, observe a força horizontal a que o balanço está submetido:

[/latex] F_{\mathrm{horizontal}} = T\cos \theta = \frac{3mg}{2} \cdot \sin (2\theta) [latex]

Essa força horizontal assume o maior valor quando [latex] \theta = 45^\circ [/latex].

Finalmente,

[/latex] \mu = \frac{3m}{2M + 3m} [latex]

por Viktor Bailey Qua 10 Ago 2022, 16:24

Acredito que a grande sacada desta questão está em pensar sobre qual ângulo nos forneceria o maior valor da componente horizontal da tração, pois esta será responsável pelo valor do atrito estático máximo para que o balanço não escorregue.

Devemos ter em mente também a velocidade do garoto durante esse momento de tração horizontal máxima, pois caso a velocidade linear dele seja 0, ou seja, com ele estando no ponto mais alto da trajetória, não haverá resultante centrípeta, tornando a conservação da energia mecânica inútil na resolução.

Pensando nisso, eu considerei o θ = pi/4, ou seja, 45 graus, pois desta forma nós conseguimos o valor máximo da tração na direção horizontal na maior velocidade possível.

Reutilizando as equações do @al171 para poupar nosso tempo e substituindo senθ e cosθ, chegamos exatamente no gabarito C da questão.

por al171 Qua 10 Ago 2022, 18:29

Viktor Bailey escreveu:Acredito que a grande sacada desta questão está em pensar sobre qual ângulo nos forneceria o maior valor da componente horizontal da tração, pois esta será responsável pelo valor do atrito estático máximo para que o balanço não escorregue.

Devemos ter em mente também a velocidade do garoto durante esse momento de tração horizontal máxima, pois caso a velocidade linear dele seja 0, ou seja, com ele estando no ponto mais alto da trajetória, não haverá resultante centrípeta, tornando a conservação da energia mecânica inútil na resolução.

Pensando nisso, eu considerei o θ = pi/4, ou seja, 45 graus, pois desta forma nós conseguimos o valor máximo da tração na direção horizontal na maior velocidade possível.

Reutilizando as equações do @al171 para poupar nosso tempo e substituindo senθ e cosθ, chegamos exatamente no gabarito C da questão.

Suas observações me fizeram olhar com mais calma a resolução e pude constatar o erro cometido na obtenção da expressão do coeficiente μ.