Momento angular

Uma roda cilíndrica, de raio R e massa M, rola sem deslizar
sobre um plano horizontal, deslocando-se com velocidade v, es obe sobre um plano inclinado de inclinação θ, continuando a rolar sem deslizar (Figura 52).



(a) Até que altura h o centro da roda subirá sobre o plano inclinado?

(b) Calcule a força de atrito entre o corpo e o plano inclinado
para garantir que o movimento seja de rolamento sem desli-
zamento.

(Preciso da resolução da b)

Gabarito:
(a) h = R + (3v^2)/4  g
(b) Fat = (M.g.sinθ)/3

Segunda Lei de Newton rotacional aplicada no eixo de rotação do corpo de massa \(M\) com a única força externa \(f_{\mathrm{at}}\) atuando no sentido ascendente durante a subida:
\[
\tau_{\mathrm{ext}} = I\alpha \Leftrightarrow f_{\mathrm{at}} \cdot R = I \alpha = \frac{MR^2}{2} \cdot \alpha \implies \alpha = \frac{2f_{\mathrm{at}}}{MR}
\]
Relação cinemática entre os módulos de acelerações angulares e lineares em relação ao centro de massa:
\[
\alpha = \frac{a}{R} = \frac{2f_{\mathrm{at}}}{MR} \implies Ma = 2f_{\mathrm{at}}
\]
Segunda Lei de Newton translacional no eixo inclinado (necessário tomar a componente tangencial do peso ao plano):
\[
Mg\sin \theta - f_{\mathrm{at}} = Ma \Leftrightarrow Mg\sin \theta - f_{\mathrm{at}} = 2f_{\mathrm{at}} \implies f_{\mathrm{at}} = \frac{Mg\sin \theta}{3}
\]