Maior valor de x

por TatsuoPlays43 Dom 05 Jun 2022, 09:36

Qual o maior valor que x pode assumir sabendo que:
a,b,c são numeros reais positivos e que a+b+c = 1
X = [latex]1-\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)[/latex]

por **Elcioschin** Dom 05 Jun 2022, 13:30

a + b + c = 1 ---> (a + b + c)² = 1² ---> a² + b² + c² + 2.(a.b + a.c + b.c) = 1 ---> 1 - (a² + b² + c²) = 2.(a.b + a.c + b.c)

X = 2.(a.b + a.c + b.c)

Para X ser máximo devemos ter a = b = c = 1/3 ---> Xmáx. = 2.(1/9 + 1/9 + 1/9) ---> Xmáx = 2/3

Tens o gabarito?

por **Giovana Martins** Dom 05 Jun 2022, 19:13

[latex]\\\mathrm{M_Q\geq M_A\to \sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}}\geq \frac{a+b+c}{3}\to a^2+b^2+c^2\geq \frac{1}{3}} \\\\ \mathrm{\therefore\ a^2+b^2+c^2=\left ( a^2+b^2+c^2 \right )_{min}\ se\ a^2+b^2+c^2=\frac{1}{3}}\\\\ \mathrm{x=1-\left (a^2+b^2+c^2 \right )\ \therefore\ x_{max}=1-\left (a^2+b^2+c^2 \right )_{min}=\frac{2}{3}}[/latex]

por **Giovana Martins** Dom 05 Jun 2022, 19:15

Uma resolução possível a partir da teoria das Desigualdades das Médias.

por **Elcioschin** Dom 05 Jun 2022, 19:37

Minha resolução se baseia numa questão bem simples

Imagine um barbante de comprimento fixo L
Queremos dividi-lo em duas partes x, y tais que p produto de ambas sejam máximo.
Quais devem ser o valores de x, y?

A questão é bem simples:

x + y = L ---> y = L - x

P = x.y ---> P = x.(L - x) --->P = - x² + L.x ---> Parábola com a concavidade voltada para baixo.

O valor máximo de P ocorre no vértice da parábola ---> x = - b/2.a ---> x = - L/2.(-1) ---> x = L/2

y = L - x ---> y = L - L/2 ---> y = L/2

Conclusão: para o produto ser máximo, devemos ter x = y = L/2, isto é o barbante deve ser dividido ao meio.

Pode-se provar também que, dividindo o barbante em 3 partes x, y, z, para o produto ser máximo devemos ter x = y = z = L/3

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