Expressão trigonométrica

por Jvictors021 Qui 02 Jun 2022, 20:45

O valor da expressão [latex]sen^{4}(\frac{\pi }{8}) + sen^{4}(\frac{3\pi }{8}) + sen^{4}(\frac{5\pi }{8}) + sen^{4}(\frac{7\pi }{8})[/latex] é:

A) 0
B) 1
C) 3/2
D) 2
E) 5/2

Spoiler:

por **qedpetrich** Qui 02 Jun 2022, 21:40

Olá João Victor;

Uma ideia um pouco trabalhosa:

$Expressão trigonométrica Png$

Aplicando tal relação:

$Expressão trigonométrica Png$

Mas podemos dizer que por ângulos complementares:

$Expressão trigonométrica Png$

Logo:

$Expressão trigonométrica Png$

$Expressão trigonométrica Png$

Novamente pela trigonometria, a função cosseno é par, portanto:

$Expressão trigonométrica Png$

Dessa forma:

$Expressão trigonométrica Png$

Utilizando a primeira propriedade exposta novamente:

$Expressão trigonométrica Png$

Para facilitar a escrita 3∏/8 = a, assim:

$Expressão trigonométrica Png$

Pela relação fundamental da trigonometria, temos:

$Expressão trigonométrica Png$

Da identidade trigonométrica sen(2a) = 2sen(a)cos(a):

$Expressão trigonométrica Png$

Voltando na expressão:

$Expressão trigonométrica Png.latex?%5Cdpi%7B100%7D%20%5C%5C%5Cmathrm%7B2%5Cleft%20%5B%20%5Cfrac%7B2-sen%5E2%282a%29%7D%7B2%7D%20%5Cright%20%5D%3D2-sen%5E2%282a%29%3D2-sen%5E2%5Cleft%20%28%202%5Ctimes%5Cfrac%7B3%5Cpi%7D%7B8%7D%20%5Cright%20%29%7D%5C%5C%5C%5C%5Cmathrm%7B2-sen%5E2%5Cleft%20%28%20%5Cfrac%7B3%5Cpi%7D%7B4%7D%20%5Cright%20%29%3D2-%5Cleft%20%28%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D%7B2%7D%20%5Cright%20%29%5E2%3D2-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5C%20%5Ctherefore%20%5C%20%5Cboxed%7B%5Cmathrm%7B%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%5C%20%5C%20q.e.d$

Dúvidas pontue. Smile

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