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ITA - Polinômios

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Resolvido ITA - Polinômios

Mensagem por Leandro o Pelézinho Qui 12 maio 2022, 16:15

Determine os valores de K e A, K pertence aos reais e A ao intervalo [0,2pi], para que o polinômio
p(x) = kx² - x*cos²A + senA seja divisível pelo produto (x-1)(x-2).

Gab: K = 1/4; A = pi/6 ou A = 5pi/6.


Última edição por Leandro o Pelézinho em Qui 12 maio 2022, 17:25, editado 1 vez(es)
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Resolvido Re: ITA - Polinômios

Mensagem por qedpetrich Qui 12 maio 2022, 17:12

Olá Leandro;

Se p(x) é divisível por (x-1)(x-2), então, x = 1 e x = 2 são raízes de p(x), logo:

I) p(1) = k - cos²A + senA = 0
II) p(2) = 4k - 2cos²A + senA = 0

I - II = -3k + cos²A = 0

cos²A = 3k

Mas, pela relação fundamental da trigonometria, temos que:

sen²A + cos²A = 1  →  sen²A + 3k = 1  .:.  sen²A = 1 - 3k

senA = ± √(1-3k)

Voltando na primeira equação:

I) k - 3k + [± √(1-3k)] = 0

± √(1-3k) = 2k  →  Elevando ambos ao quadrado  →  1 - 3k = 4k², se k > 0. Logo:

4k² + 3k - 1 = 0

­k = -1 ou k = 1/4, mas k > 0, então, k = -1 é descartado.

cos²A = 3k  →  cos²A = 3/4  →  cosA = ± √3/2  .:.  A = pi/6 ou A = 5pi/6

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