ITA - Polinômios
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ITA - Polinômios
Determine os valores de K e A, K pertence aos reais e A ao intervalo [0,2pi], para que o polinômio
p(x) = kx² - x*cos²A + senA seja divisível pelo produto (x-1)(x-2).
Gab: K = 1/4; A = pi/6 ou A = 5pi/6.
p(x) = kx² - x*cos²A + senA seja divisível pelo produto (x-1)(x-2).
Gab: K = 1/4; A = pi/6 ou A = 5pi/6.
Última edição por Leandro o Pelézinho em Qui 12 maio 2022, 17:25, editado 1 vez(es)
Leandro o Pelézinho- Iniciante
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Re: ITA - Polinômios
Olá Leandro;
Se p(x) é divisível por (x-1)(x-2), então, x = 1 e x = 2 são raízes de p(x), logo:
I) p(1) = k - cos²A + senA = 0
II) p(2) = 4k - 2cos²A + senA = 0
I - II = -3k + cos²A = 0
cos²A = 3k
Mas, pela relação fundamental da trigonometria, temos que:
sen²A + cos²A = 1 → sen²A + 3k = 1 .:. sen²A = 1 - 3k
senA = ± √(1-3k)
Voltando na primeira equação:
I) k - 3k + [± √(1-3k)] = 0
± √(1-3k) = 2k → Elevando ambos ao quadrado → 1 - 3k = 4k², se k > 0. Logo:
4k² + 3k - 1 = 0
k = -1 ou k = 1/4, mas k > 0, então, k = -1 é descartado.
cos²A = 3k → cos²A = 3/4 → cosA = ± √3/2 .:. A = pi/6 ou A = 5pi/6
Se p(x) é divisível por (x-1)(x-2), então, x = 1 e x = 2 são raízes de p(x), logo:
I) p(1) = k - cos²A + senA = 0
II) p(2) = 4k - 2cos²A + senA = 0
I - II = -3k + cos²A = 0
cos²A = 3k
Mas, pela relação fundamental da trigonometria, temos que:
sen²A + cos²A = 1 → sen²A + 3k = 1 .:. sen²A = 1 - 3k
senA = ± √(1-3k)
Voltando na primeira equação:
I) k - 3k + [± √(1-3k)] = 0
± √(1-3k) = 2k → Elevando ambos ao quadrado → 1 - 3k = 4k², se k > 0. Logo:
4k² + 3k - 1 = 0
k = -1 ou k = 1/4, mas k > 0, então, k = -1 é descartado.
cos²A = 3k → cos²A = 3/4 → cosA = ± √3/2 .:. A = pi/6 ou A = 5pi/6
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