limite sem l'hospital

Opa, gostaria de saber o valor desse limite quando x tende a 3, mas sem utilizar derivadas:

[latex]\lim ((\frac{1+x}{4})^{\frac{1}{x-3}})[/latex]

Depende de como teu curso deu cálculo, mas eu vou precisar que você concorde com a definição de e:

    [latex]\lim_{n\to \infty}\left(1+\frac{1}{n} \right )^n = \lim_{n\to 0}\left(1+n \right )^{\frac{1}{n}} = e[/latex]

Daí o nosso limite, usando u = x-3, fica:

    [latex]\begin{align*} \lim_{x\to 3}\left(\dfrac{1+x}{4} \right )^\frac{1}{x-3} &= \lim_{u\to 0}\left(\dfrac{4+u}{4} \right )^\frac{1}{u}\\~\\ &= \lim_{u\to 0}\left(1 + \dfrac{u}{4} \right )^\frac{1}{u} \\~\\ &= \lim_{u\to 0}\left[ \left(1 + \dfrac{u}{4} \right )^\frac{4}{u}\right ]^{\frac{1}{4}} \end{align*}[/latex]

Usando n = u/4:

    [latex]\begin{align*} \lim_{x\to 3}\left(\dfrac{1+x}{4} \right )^\frac{1}{x-3} &= \lim_{u\to 0}\left[ \left(1 + \dfrac{u}{4} \right )^\frac{4}{u}\right ]^{\frac{1}{4}} \\~\\ &= \left[ \lim_{n\to 0}\left(1 +n \right )^{\frac{1}{n}}\right ]^{\frac{1}{4}} \\~\\ &= e^{\frac{1}{4}} \end{align*}[/latex]