Integral indefinida

Calcule: 

∫ sen^(2/5) (2x) . cos^5 (2x) dx

Minha maior dificuldade está sendo em manipular sen^(2/5) (2x).   

Gabarito:

Eu não tentei, mas uma possibilidade é:

I) u = 2x
du= 2 dx

II) cos⁴ u = (1 - sen² u)²

Obrigado Rory, passando pra dizer que consegui resolver:

∫ sen^(2/5) (2x) . cos^5 (2x) dx

Manipulando o integrando:

sen^(2/5) (2x) . cos^5 (2x)
sen^(2/5) (2x) . (1-sen² (2x))² . cos (2x)
sen^(2/5) (2x) . (1 - 2sen² (2x) + sen^4 (2x)) . cos (2x)
sen^(2/5) (2x) . (cos (2x) - 2sen² (2x) . cos (2x)) + sen^4 (2x) . cos (2x)
sen^(2/5) (2x) . cos (2x) - 2.sen^(12/5) (2x) . cos (2x) + sen^22/5 (2x) . cos (2x)

Voltando a integral:

∫ sen^(2/5) (2x) . cos (2x) - 2.sen^(12/5) (2x) . cos (2x) + sen^22/5 (2x) . cos (2x) dx

separando em outras integrais:

∫ sen^(2/5) (2x) . cos (2x) dx - ∫ 2.sen^(12/5) (2x) . cos (2x) dx + ∫ sen^22/5 (2x) . cos (2x) dx

Aplicando a técnica de substituição no ângulo, ou seja:

u = 2x
du/dx = 2 --> dx = du/2

já colocando (1/2) em evidência, ficamos com:

(1/2). ( ∫ sen^(2/5) u. cos u du - ∫ 2 sen^(12/5) u . cos u du + ∫ sen^(22/5) u . cos u du )

Agora aplicando mais uma vez a técnica da substituição, só que dessa vez no sen u:

sen u = v
dv /du = cos u --> du = dv / cos u 

Substituindo, fica:

(1/2). ( ∫ v^(2/5) dv - ∫ 2v^(12/5) dv + ∫ v^(22/5) dv)

Agora conseguimos aplicar a forma imediata:

(1/2) . (v^(7/5) / (7/5) - 2v^(17/5) / (17/5) + v^(27/5) / (27/5)) + C

Invertendo as frações nos denominadores, colocando (5/2) em evidência e lembrando que v = sen (2x), por fim chegamos no gabarito:

(5/2). ( (sen^(7/5) (2x) / 7) - (2.sen^(17/5) / 17) + (sen^(27/5) / 27)) + C 

Ótimo! Muito bem