(Puc) Aniversário

A doutora Cristiane não quer revelar o dia de seu aniversário, mas seus amigos Jorge e Evandro insistem. Então Cristiane propôs o seguinte problema:

ABC + ABC + ABC=BBB

A X 15 é igual ao dia de seu aniversário e B + 5 é seu mês. 

Com base nessas informações, conclui-se que Cristiane faz aniversário:
a)15 de setembro
b)15 de novembro
c)30 de outubro
d)30 de novembro
e)30 de agosto

Gab:

Estou supondo que A,B e C são algarismos numéricos .  A questão não deixa claro, mas é o jeito.

Se [latex]A\cdot 15[/latex] é o dia do aniversário de Cristiane, então [latex]A\in \left\{ 1,2\right\}[/latex], pois [latex]A\cdot 15 \in \left\{ 15,30\right\}[/latex].


Se [latex]B+5[/latex] é o mês, então [latex]B +5 \in \left\{5,6,7,\cdots,10,11,12\right\}[/latex] e [latex]B\in \left\{0,1,2,\cdots,5,6,7\right\}[/latex].


Resolvendo:


[latex]ABC + ABBC + ABC=BBB[/latex]



[latex]\left[ 100A+10B +C \right ]+\left[1000A +100B +10B +C \right ]+\left[ 100 A+10B +C \right ] = \left[100B+10B+B \right ][/latex]

[latex]1200A+130B+3C = 111B[/latex]


[latex]1200A+19B+3C = 0[/latex]


Única solução seria A,B,C = 0.


Só pra certificar, é ABBC ali no meio mesmo?

Putz, peço desculpa! Ocorreu um erro de digitação mesmo, acabei não percebendo.

Ali é ''ABC''.

Continuando:

[latex]\left[ 100A+10B +C \right ]+\left[100A +10B +C \right ]+\left[ 100 A+10B +C \right ] = \left[100B+10B+B \right ][/latex]

[latex]300A+30B+3C = 111B[/latex]


[latex]100A +10B+C = 37B[/latex]


[latex]100A +C = 27B[/latex]



Observe que 100A+C é múltiplo de 9, logo a soma de seus algarismos deve ser múltipla de 9.




Temos 2 casos para analisar: A = 1 e A = 2.


Analisando A=1:


[latex]100 +C = 27B[/latex]



O único valor de C para 100+C múltiplo de 9 é 8:


[latex]100 +8 = 27B[/latex]



[latex]108 = 27B[/latex]



[latex]12 =3B[/latex]



[latex]B = 4[/latex]



Chegamos a 15 do mês 9, que é setembro. (Se a prova for objetiva, já pode parar aqui.)




Analisando A=2:



[latex]200 +C = 27B[/latex]



O único valor de C para 200+C múltiplo de 9 é 7:


[latex]200 +7 = 27B[/latex]



[latex]207 = 27B[/latex]



[latex]23 =3B[/latex]


Não existe B inteiro que resolve essa equação.

Resolução sensacional, muito obrigado!