Parábola de Segurança

por Tales Zanqueta Sex 25 Fev 2022, 10:56

Um homem deseja lançar uma pedra do topo de uma colina (ponto A) a fim de atingir o ponto mais baixo (ponto B) como mostrado na figura em um local em que g = 10m/s². Determine:

a) a menor velocidade de lançamento a fim que a pedra atinja o ponto B.

b) o ângulo de inclinação com que a pedra deve ser arremessada.

Parábola de Segurança B7kKsj16z4NSAAAAAElFTkSuQmCC

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por Josinos Dom 27 Fev 2022, 01:15

[Edit]: O ângulo de 45° só fornece o alcance máximo para lançamentos oblíquos em que o ponto de lançamento e o de chegada estão no »» mesmo nível ««. Nesse caso, isso não se aplica, portanto o raciocínio a ser seguido deve ser o que foi mostrado pela Rory Gilmore no comentário abaixo

Pra calcular a velocidade mínima que o projétil tem que ser lançado pra percorrer esses 24 metros, é preciso saber que o ângulo de lançamento deve ser de 45°. Esse ângulo é especial pq ele garante o máximo de alcance possível para todos os valores de velocidade de lançamento. Se mudar pra qualquer outro ângulo diferente desse, o alcance diminui se a gente não aumentar a velocidade pra compensar. A demonstração matemática disso é bem daora, se vc quiser eu te mando ela. Pra vc visualizar melhor como isso acontece, dá uma brincada nessa simulação aqui:

»» Simulação Lançamento ««

Resolvendo a questão então:

a) P/ maximizar o alcance com o mínimo de velocidade possível → [latex]\alpha = 45^{\circ}[/latex] (erro)

Decomposição + Equações do Movimento:

[latex]v_o_x = v_o.\cos \alpha[/latex] [Velocidade horizontal inicial]

[latex]v_o_y = v_o.\sin \alpha[/latex] [Velocidade vertical inicial]

[latex]x(t)=x_o+v_o_x.t[/latex] [Posição horizontal do projétil em função do tempo]

[latex]y(t)=y_o+v_o_y.t-\frac{1}{2}g.t^2[/latex] [Posição vertical do projétil em função do tempo]

Nesse caso, [latex]x_o[/latex] vale 0, e [latex]y_o[/latex] vale 7m, pq eu tô assumindo o chão como referencial de altura = 0. Com isso fica:

[latex]x(t)=v_o\cos \alpha.t\rightarrow x(t)=v_o\frac{\sqrt2}{2}.t[/latex]

[latex]x_f=24=v_o\frac{\sqrt2}{2}.t_f[/latex] (i)

[latex]y(t)=7+v_o\frac{\sqrt2}{2}.t -5t^2[/latex] (ii)

Em (i), [latex]v_o\frac{\sqrt2}{2}.t_f=24[/latex], substituindo esse termo em (ii), temos:

[latex]y(t)=7+24 -5t^2[/latex]

Como, em [latex]t_f[/latex], y = 0,

[latex] 0=31 -5t^2\rightarrow t_f\approx2,5s[/latex]

Jogando esse valor de tempo em (i),
[latex]24=v_o\frac{\sqrt2}{2}.t_f\therefore v_o\approx13,63m/s[/latex]

por **Rory Gilmore** Dom 27 Fev 2022, 02:40

Vou apenas aplicar as equações cuja demonstração anexei abaixo e no link recomendo outra postagem bem interessante e com uma outra solução.

Temos:
24² = vo².(vo² + 140)/100
vo⁴ + 140.vo² - 57600 = 0
vo² = 180
vo = 3√20 m/s.

v = √(180 + 140)
v = √320 m/s

tg θ = 3√20/√320
tg θ = 3/4
α =~ 37°.

Postagem da citação

Rory Gilmore escreveu:demonstração (espero que esteja legível):

por Josinos Dom 27 Fev 2022, 12:53

Que visão Rory! Eu tinha passado despercebido por isso. Aparentemente muita coisa muda quando o lançamento é feito a partir de uma altura > 0, muito obrigado por demonstrar isso e por ter corrigido meus erros : )

já deixei no meu comentário que a sua resolução é mais coerente.

ps: testei la nas simulações e tudo bate certinho

por **Rory Gilmore** Dom 27 Fev 2022, 14:29

Muito legal aquele simulador.

Existe um outro que é possível alterar os parâmetros com mais precisão:
https://ophysics.com/k8.html

Fiz uma simulação: