(UnB 2011) Relatividade

1) Considere que, em um duelo, um observador fixo sobre a superfície da Terra (referencial B), onde estão os dois duelistas (B1 e B2), nota que ambos, separados um do outro pela distância ( x(B1) - x(B2) = D ) atiram ao mesmo tempo. Nessa situação, segundo a teoria da relatividade especial, para um observador movendo-se com velocidade vA com relação à superfície da Terra, os dois duelistas teriam atirado com uma diferença de tempo cujo módulo é dado por [latex]\Delta t_{a} = \frac{\gamma .\nu _{a} .D}{c^{2}}[/latex] que indica que a noção de simultaneidade depende do estado de movimento do observador.

Verdadeiro.

Não há problemas sobre a parte teórica do problema da simultaneidade.
O problema é na parte da equação. Fiz dessa forma (considerando o observador como a origem do sistema).

At B1 --> Obs (Dilatado) = At B1Obs (Real) . y

At B1 --> Obs (Dilatado) = (x(B1) / c) . y

At B2 --> Obs (Dilatado) = (x(B2)/c) . y

Aí teriamos
AtB1 - At B2 (Dilatado) = [ x(B1) - x(B2)] . y / c   =  D . y / c

Não entendi porque ele multiplicou o resultado por beta (Va /c )

PS:
y = √ [1 -  (Va^2 / c^2)]


Alguém saberia ajudar? Valeuuuu

Utilizando a Transformada de Lorentz para o tempo:
[latex] t'=\gamma (t - \frac{v.x}{c^2}) [/latex]
Considere B1 na posição D do eixo x e B2 na origem.
No referencial da terra (B), os dois duelistas atiram ao mesmo tempo, logo t1 = t2.
Logo, mudando para o novo referencial e utilizando a Transformada de Lorentz para o tempo, é possível encontrar o novo tempo de cada duelista:
[latex] t_2' - t_1'=\gamma (t_2 - \frac{v_a.0}{c^2}) - \gamma (t_1 - \frac{v_a.D}{c^2}) = \gamma(t_2-t_1)+\frac{\gamma.v_a.D}{c^2} 
= \gamma(0) + \frac{\gamma.v_a.D}{c^2} = \frac{\gamma.v_a.D}{c^2} [/latex]