Transforme um determinante em outro

1. Transforme um determinante em outro que apresente as diagonais permutadas entre si:

[latex]\begin{vmatrix} a_1 & b_1& c_1& ...&l_1 \\ a_2 & b_2 & c_2& ...& l_2 \\ ...& ...& ...& ...& ... \\ ...& ...& ...& ...& ...\\ a_n& b_n& c_n & ... & l_n \end{vmatrix} = (-1)^{\frac{n(n-2)}{2}}\begin{vmatrix} l_1 & ...& c_1& b_1&a_1 \\ l_2& ... & c_2 & b_2 & a_2 \\ ...& ...& ...& ...& ... \\ ...& ...& ...& ...& ...\\ l_n &... &c_n &b_n &a_n \end{vmatrix}[/latex]

Para provar esse tipo de coisa você pode utilizar o princípio da indução finita. O problema é que essa fórmula não vale, pois para uma matriz 2x2 ela já falha.

Parece que só funciona pra n par e maior que 2. Se n for impar, então n-2 também é impar. Mas impar * impar = impar, o que implica em (-1)^(fração) que resulta em um número imaginário. Se você permuta duas colunas do determinante, ele troca de sinal. Logo, se você permutar um número par de colunas, o sinal do determinante não muda. Mas se n = 2k, 2k(2k - 2)/2 também é par para k > 1, então (-1)^(n(n-2)/2) = 1.

Isso mostra que a formula é valida para n = 2k com k > 1. Não é uma prova tão boa quanto a por indução que a Rory sugeriu, você ainda teria que provar que quando você troca as colunas, o sinal do det muda. Não é tão difícil provar isso pras matrizes 3x3 e 2x2. Será que faz algum sentido ou eu só falei bobagem?