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Progressão - Escola Naval

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Mensagem por Cadete Pamela Qui 20 Jan 2022, 21:27

Sejam (an), (bm) e (ck) três progressões geométricas de razão q e primeiro termo x. (bm) tem o dobro de termos de (an), e (ck) tem 3/2 termos de (bm). Sabendo que a soma dos termos de (an) é igual a 10 e a soma dos termos de (ck) é 42/5 , assinale a opção que apresenta a diferença, em módulo, dos possíveis valores da soma dos termos de (bm).
a) 6
b) 8
c) 10
d) 12
e) 14
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Mensagem por gabriel_balbao Sex 21 Jan 2022, 02:03

Boa noite! 
Exercício bem trabalhoso, nele é importante explorar a parte de produtos notáveis e soma de P.G. 

Veja que o exercício nos diz que o número de termos de (bm) é o dobro do número de termos de (an). Chamando o número de termos de (an) de s, sabemos que o número de termos de (bm) é 2s. Como o número de termos de (ck) é 3/2 do número de (bm), sabemos que o número de termos de (ck) é 3s. 

Em posse disso, e sabendo-se que a soma de P.G. é dada pela fórmula [a1(qn - 1)] / (q - 1), para (an) e (ck), temos: sum (an) = [x(qs - 1)] / (q - 1) = 10 e sum (ck) = [x(q3s - 1)] / (q - 1) = 42/5

Dividindo-se sum (ck) por sum (an), vem: (q3s - 1) / (qs - 1) = 42 / 50. Lembra-se do produto notável da diferença de cubos? É a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²). Vamos aplicar na expressão que conseguimos, veja: (qs - 1)(q2s + qs + 1) / (qs - 1) = 42 / 50 ⇒ q2s + qs + 1 = 42 /50 ⇒ q2s + qs + 4/25 = 0. Resolvendo a equação para a variável qs, temos: qs = (-1 ± 3/5) / 2 ⇒ q1s = - 1/5 ou q2s = -4/5. 

Que ótimo! Conseguimos descobrir o valor de qs. Precisamos, agora, de uma expressão que nos indique o valor de sum (bm). Utilizando, novamente, a soma de P.G, vem: sum (bm) = x(q2s - 1) / (q - 1). Lembra-se da diferença de quadrados? Vamos aplicá-la, veja: sum (bm) = x(qs - 1)(qs + 1) / (q - 1). 

Perceba que, se reorganizarmos a expressão, conseguiremos exatamente a fórmula de sum (an), note: sum (bm) = [x(qs - 1) / (q - 1) ] . (qs + 1) ⇒ sum (bm) = sum (an) . (qs + 1). Como sum (an) = 10, pelo enunciado, tem-se: sum (bm) = 10(qs + 1). Substituindo para os valores encontrados de qs, teremos: sum1 (bm) = 8 ou sum2 (bm) = 2. Como o exercício nos pede a diferença em módulo, tem-se: |sum1 (bm) - sum2 (bm)| = |8 - 2| = 6.
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