IME - Combinatória/Progressões
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IME - Combinatória/Progressões
por Lupan Seg 03 Jan 2022, 15:06
Pessoal, por favor me ajudem nessa questão do IME, infelizmente não achei o gabarito, creio que pro ser muito antiga:
(IME-66) Determine os valores de x e de y, em função de n, na equação:
[latex] \textrm{C}_{n}^{0}.\textrm{C}_{n}^{2} + \textrm{C}_{n}^{1}.\textrm{C}_{n}^{3} + \textrm{C}_{n}^{2}.\textrm{C}_{n}^{4} + ... + \textrm{C}_{n}^{n-2}.\textrm{C}_{n}^{n} = \textrm{C}_{x}^{y}[/latex]
Link da foto da questão:
(IME-66) Determine os valores de x e de y, em função de n, na equação:
[latex] \textrm{C}_{n}^{0}.\textrm{C}_{n}^{2} + \textrm{C}_{n}^{1}.\textrm{C}_{n}^{3} + \textrm{C}_{n}^{2}.\textrm{C}_{n}^{4} + ... + \textrm{C}_{n}^{n-2}.\textrm{C}_{n}^{n} = \textrm{C}_{x}^{y}[/latex]
Link da foto da questão:
Lupan- Iniciante
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Re: IME - Combinatória/Progressões
por renan2014 Sex 07 Jan 2022, 21:15
Veja que:
[latex]C_{n}^{i}\cdot C_{n}^{i+2}=C_{n}^{i}\cdot C_{n}^{n-i-2}=\binom{n}{i} \cdot \binom{n}{n-i-2}[/latex]
Logo,
[latex]C_{n}^{0}\cdot C_{n}^{2} + C_{n}^{1}\cdot C_{n}^{3} + ... + C_{n}^{n-2}\cdot C_{n}^{n}= \sum_{i=0}^{n-2} \binom{n}{i} \cdot \binom{n}{n-i-2}[/latex]
Veja que a soma dos índices de baixo dos binômios no termo geral do somatório é constante, (i + n- i -2) = (n-2) constante.
Tem que usar que esse somatório é igual a:
[latex]\binom{n+n}{i+n-i-2}=\binom{2n}{n-2}[/latex]
Caso não saiba desse resultado, aconselho procura-lo em algum livro de combinatória bom. Ou tente provar tbm...
[latex]C_{n}^{i}\cdot C_{n}^{i+2}=C_{n}^{i}\cdot C_{n}^{n-i-2}=\binom{n}{i} \cdot \binom{n}{n-i-2}[/latex]
Logo,
[latex]C_{n}^{0}\cdot C_{n}^{2} + C_{n}^{1}\cdot C_{n}^{3} + ... + C_{n}^{n-2}\cdot C_{n}^{n}= \sum_{i=0}^{n-2} \binom{n}{i} \cdot \binom{n}{n-i-2}[/latex]
Veja que a soma dos índices de baixo dos binômios no termo geral do somatório é constante, (i + n- i -2) = (n-2) constante.
Tem que usar que esse somatório é igual a:
[latex]\binom{n+n}{i+n-i-2}=\binom{2n}{n-2}[/latex]
Caso não saiba desse resultado, aconselho procura-lo em algum livro de combinatória bom. Ou tente provar tbm...
renan2014- Jedi
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