Corrente alternada induzida

Boa tarde! Fiz essa questão faz cerca de um mês e ela não sai da minha cabeça desde então:



Na figura acima está representada uma espira em uma região onde existe um campo magnético B. Sabendo que a espira gira com frequência constante de 60Hz no sentido horário, partindo da posição indicada na figura, o gráfico da corrente elétrica no resistor em função do tempo, para esse arranjo, é



Como a frequência é 60Hz, me parece que a resposta deve ser A ou D. O gabarito a alternativa A, mas eu marquei a alternativa D com o seguinte pensamento:

A corrente induzida é maior quanto maior for a força eletromotriz [latex]\epsilon[/latex];

A força eletromotriz é igual a [latex]-\frac{\Delta \Phi }{\Delta t}[/latex];

Como [latex] \Phi = BAcos\theta [/latex] e [latex]B[/latex] e [latex]A[/latex] são constantes, então [latex]\Delta \Phi[/latex] depende só de [latex]\Delta cos\theta[/latex];

[latex]cos\theta[/latex] varia mais rápido próximo de 90°, que é a posição inicial da espira;

Assim, na posição inicial, [latex]cos\theta[/latex] varia mais rápido, logo [latex]\Phi[/latex] varia mais rápido, logo [latex]\epsilon[/latex] é maior, logo a corrente é maior.

Assim, eu esperaria que a alternativa D fosse correta, pois mostra uma corrente maior na posição inicial [latex]\theta = 90\degree[/latex]

Gostaria de saber se vocês concordam com o gabarito da letra A, e se sim qual a explicação para essa resposta.

Obrigado desde já!

Olá delta_phi;

Como cos (θ), depende intrinsecamente do vetor campo magnético e a normal em relação ao plano da área da espira, portanto em t = 0, cos (90°) = 0, somente com isso podemos descartar a alternativa d). Uma vez que:



É evidente que se a força eletromotriz inicial é nula, a corrente elétrica em t = 0 também deve ser nula. Logo a alternativa d) não pode representar a intensidade de corrente elétrica induzida.

Oi qedpetrich! Muito obrigado pela resposta!

Eu entendo que o fluxo magnético em t = 0 deve ser 0 porque cos (90°) = 0

Mas, como a força eletromotriz depende da variação do fluxo, e não do fluxo em si, pensava que [latex]\Phi = 0[/latex] não necessariamente significaria que [latex] \epsilon = 0 [latex], pois o fluxo está variando o mais rápido possível no instante t = 0.

Bom vamos com outro exemplo se não ficou claro, perceba que para um quarto de revolução a espira se encontra perpendicular às linhas do campo magnético, isso significa dizer que sua variação de fluxo é máxima. Dessa forma, as linhas de campo passam por toda a área da espira. Para meia revolução:





Fazendo a variação do fluxo magnético:



Força eletromotriz:



Se fosse o gráfico d) como você afirma dizer, qual o motivo dessas terem corrente elétrica induzida nula, visto que para um diferencial de área esse é máximo no instante t' = 1/240 s. Pra mim faz sentido ser a letra a), olhe só enquanto vou descrevendo olhe para o gráfico, em um primeiro instante a corrente elétrica deve ser nula por apresentar área paralela às linhas de campo magnético que passam por ela. Já para 1/4 de revolução essa é ortogonal, portanto é um máximo, para 1/2 de revolução temos novamente uma situação em que a área se torna paralela às linhas de campo magnético, resultando em uma corrente elétrica induzida nula. Para 3/4 de revolução um mínimo, uma vez que tomado um referencial de rotação esse é oposto a configuração inicial, enfim isso se torna periódico para T = 1/60 s.

Concorda que para uma corrente elétrica induzida máxima (ou mínima), devemos ter uma configuração em que as linhas de campo magnético são perpendiculares às linhas de superfície?

Interpretei dessa forma.

Concorda que para uma corrente elétrica induzida máxima (ou mínima), devemos ter uma configuração em que as linhas de campo magnético são perpendiculares às linhas de superfície?

Na verdade é justamente essa a minha dúvida. Não estou discordando necessariamente só não sei se entendi muito bem mesmo. 

Entendi que o fluxo magnético máximo ocorre quando as linhas de campo são perpendiculares às linhas de superfície, mas não entendi porque a corrente induzida teria de ser máxima no fluxo magnético máximo. Do mesmo modo, entendo que o fluxo magnético é 0 em t = 0, mas não por que isso significa que a corrente induzida é nula.

O que pensei é que, quando θ = 90°, uma pequena mudança no ângulo causa uma maior variação em cosθ (e portanto no fluxo) do que quando θ = 180° ou 0°.

Por exemplo, [latex]\Delta \Phi[/latex] entre as posições θ = 90° e θ = 91° é:

[latex] \Delta \Phi = BA cos91\degree - BA cos90\degree = BA (cos91\degree - cos90\degree)
= 0.01745240643 BA
 [/latex]

Já entre as posições θ = 180° e θ = 181°, [latex]\Delta \Phi[/latex] é:

[latex]\Delta \Phi = BA cos181\degree - BA cos180\degree = BA (cos181\degree - cos180\degree)
 = -0.00015230484 BA
 [/latex]

Assim, como a variação de fluxo nesse intervalo de 1 grau é bem maior em módulo perto da posição θ = 90°, a corrente induzida seria maior (em módulo) nessa posição

Desculpa se eu não tô me explicando muito bem, é bem possível que só tenha algo que eu não tô entendendo

Mais uma vez obrigado pela atenção e feliz ano novo!

delta_phi escreveu:Entendi que o fluxo magnético máximo ocorre quando as linhas de campo são perpendiculares às linhas de superfície, mas não entendi porque a corrente induzida teria de ser máxima no fluxo magnético máximo. Do mesmo modo, entendo que o fluxo magnético é 0 em t = 0, mas não por que isso significa que a corrente induzida é nula.

O que pensei é que, quando θ = 90°, uma pequena mudança no ângulo causa uma maior variação em cosθ (e portanto no fluxo) do que quando θ = 180° ou 0°.

Por exemplo, [latex]\Delta \Phi[/latex] entre as posições θ = 90° e θ = 91° é:

[latex] \Delta \Phi = BA cos91\degree - BA cos90\degree = BA (cos91\degree - cos90\degree)
= 0.01745240643 BA
 [/latex]

Já entre as posições θ = 180° e θ = 181°, [latex]\Delta \Phi[/latex] é:

[latex]\Delta \Phi = BA cos181\degree - BA cos180\degree = BA (cos181\degree - cos180\degree)
 = -0.00015230484 BA
 [/latex]

Assim, como a variação de fluxo nesse intervalo de 1 grau é bem maior em módulo perto da posição θ = 90°, a corrente induzida seria maior (em módulo) nessa posição

Desculpa se eu não tô me explicando muito bem, é bem possível que só tenha algo que eu não tô entendendo

Mais uma vez obrigado pela atenção e feliz ano novo!

Feliz ano novo pra você também!

Basicamente a corrente induzida vai poder ser determinada a partir da variação do fluxo magnético, visto que:



Como a resistência é constante, basta determinar a força eletromotriz induzida (ε).

Em relação a variação de 90° para 91° ser maior que a de 180° para 181°, isso tem total relação com a corrente induzida, concorda que uma variação maior no começo, uma vez que a fase inicial (90°) varia mais do que quando dada meia revolução (a partir de 180°), teremos uma maior variação de corrente induzida? 

É fácil concluir a partir do gráfico que para um diferencial de tempo inicial, a tangente tendendo para ∆t = 0 é maior possível. O gráfico a) apresenta esta característica de di/dt ser maior no seu intervalo inicial. Já o gráfico d) apresenta para o mesmo intervalo, tangente paralela ao eixo das abscissas (tempo), novamente por essa justificativa não consideramos esse gráfico.

Ficou claro assim?

Oi! Desculpa não ver isso antes e muito obrigado por continuar respondendo

Sobre isso:

concorda que uma variação maior no começo, uma vez que a fase inicial (90°) varia mais do que quando dada meia revolução (a partir de 180°), teremos uma maior variação de corrente induzida?

Não deveria uma maior variação no começo indicar uma maior corrente no começo (e não uma maior variação de corrente?). Digo isso pelo fato da força eletromotriz (e portanto a corrente) ser proporcional à variação do fluxo. Assim, uma maior variação do fluxo --> uma maior corrente.

O que penso é que, em t=0, dΦ/dt é o maior possível, então a corrente, por ser proporcional à variação do fluxo, deveria ser a maior possível, não?

Mais uma vez muito obrigado pela atenção

Não concordo, não é por que a variação é máxima que a corrente vai ser máxima. A corrente vai sofrer a maior variação possível, quando chegar ao seu ponto máximo ela começa a diminuir.

Acho que para desmistificar de vez suas dúvidas em relação aos gráficos é aplicar a variação de fluxo magnético entre t = 0 e t = 1/120 s. Você concordou que para t = 0 temos Φ = 0. Calculando para o instante t = 1/120:



Variação do fluxo magnético:



Se a variação do fluxo magnético é nula, então:



Temos corrente elétrica induzida nula. A única representação possível é o gráfico da letra A.

Acredito que a diferença entre nossos dois pensamentos é que você está usando ΔΦ/Δt entre dois instantes diferentes, enquanto eu estou pensando em dΦ/dt em cada instante. Pesquisando no google eu achei a fórmula tanto com ΔΦ/Δt quanto com dΦ/dt, então não tenho total certeza de qual está certo.

No entanto, acredito que, nesse caso em que o Φ não varia uniformemente, ΔΦ/Δt é a força eletromotriz média entre dois instantes, e não a força eletromotriz do instante final. No gráfico d, a força eletromotriz média é mesmo igual a 0 entre t = 0 e t = 1/120, conforme o teu exemplo.

Um motivo pra eu pensar assim é que, por exemplo, se a espira começasse em um ângulo qualquer e desse uma volta inteira, teríamos que:

ε = - ΔΦ/Δt = 0/Δt = 0 (ΔΦ seria 0 pois a espira começaria e terminaria na mesma posição)

Não faria sentido dizer que ε é 0 em qualquer posição por conta disso, mas é certo que a ε média após uma volta inteira é 0. Por isso eu acho que, para encontrar a força eletromotriz em cada instante, faz mais sentido usar dΦ/dt. Nesse caso, dΦ/dt é maior em módulo para θ = 90° e θ = 270° (porque d[cosθ]/dt é maior em módulo nessas posições), o que justificaria a alternativa d.

Eu achei um vídeo (em inglês) que explica mais ou menos o que eu pensei pra marcar a d de um jeito melhor do que consigo me expressar. Não tenho permissão pra postar links aqui, tudo bem se eu te mandar ele por mensagem?

Bom talvez eu esteja errado, mas tudo que eu tentei demonstrar pra você eu achei válido, ainda iria de letra a). Sim, pode mandar, qualquer coisa eu posto aqui para outros colegas opinarem.