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FAMEMA 2022 - Análise Combinatória

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Resolvido FAMEMA 2022 - Análise Combinatória

Mensagem por girassol2910 Qua 08 Dez 2021, 16:51

Hugo deseja pintar as faces de um tetraedro regular com uma face de cada cor, todas diferentes, e possui tintas de 8 cores diferentes. O número de maneiras que esse tetraedro pode ser pintado é :










Não estou conseguindo visualizar os dois jeitos diferentes de pintá-lo com as mesmas quatro cores... Cheguei em C8,4=70.


Última edição por girassol2910 em Qua 08 Dez 2021, 18:03, editado 1 vez(es)
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Resolvido Re: FAMEMA 2022 - Análise Combinatória

Mensagem por Mateus Meireles Qua 08 Dez 2021, 17:12

Olá girassol2910,

Em primeiro lugar, devemos escolher quais cores serão utilizadas para pintar o tetraedro. Há C(8,4) = 70 modos de isso ser feito.

Imagine, agora, que as cores escolhidas são: preto, branco, azul e vermelho.

Em seguida, veja que todo tetraedro pode ser imaginado com a face da base sendo azul. De fato, caso a face azul não seja a da base, é possível rodar o tetraedro de modo que a face azul vá para baixo. Fixado a face azul na base, podemos girar o tetraedro para que a face vermelha seja a da frente. Agora, fixado a face azul na base e a face vermelha na frente, devemos determinar quem ficará à direita da face vermelha: há dois modos de isso ser feito (pode ser a face branca ou a face preta), de sorte que sobra apenas uma possibilidade para a face à esquerda (a que não tiver sido escolhida anteriormente).

Portanto, o número de modos de pintar o tetraedro é C(8,4) = 70 vezes 2 (modos de pintar o tetraedro depois que as cores são escolhidas) = 140.

Abs.

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Resolvido Re: FAMEMA 2022 - Análise Combinatória

Mensagem por girassol2910 Qua 08 Dez 2021, 18:02

Entendi ! Muito obrigada, Mateus Meireles.
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Resolvido Re: FAMEMA 2022 - Análise Combinatória

Mensagem por Ceruko Sex 10 Dez 2021, 22:20

Complementando a excelente explicação, vi uma fórmula que se aplica nesse caso, mas não sei para quais situações problemas ela é usada. 

Acho que a definição seria essa:
A fórmula usada para saber quantos são os modos de pintar um poliedro é: q=(F-1)!/n  

Onde F é o número de faces e n quantas arestas tem essa face (no caso do tetraedro F=4 e n=3).
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Resolvido Re: FAMEMA 2022 - Análise Combinatória

Mensagem por girassol2910 Seg 20 Dez 2021, 16:38

Nunca havia visto tal fórmula . Obrigada, Ceruko ! cheers
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Resolvido Re: FAMEMA 2022 - Análise Combinatória

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