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Análise Combinatória

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Análise Combinatória  Empty Análise Combinatória

Mensagem por claralirasll Qua 08 Dez 2021, 16:17

Três professores foram selecionados para realizar quatro apresentações diferentes na semana pedagógica de um colégio. Cada apresentação será atribuída a um único professor e todos os professores selecionados devem, obrigatoriamente, fazer ao menos uma apresentação. Quantos modos distintos podem ser atribuídas as apresentações?


Gabarito: 36
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Análise Combinatória  Empty Re: Análise Combinatória

Mensagem por claralirasll Qua 08 Dez 2021, 16:20

Poderiam me dizer qual meu equívoco? Meu desenvolvimento da questão é este: 

A primeira apresentação pode ser feita por um dos 3, a segunda também, a terceira por um dos 2 e a última pode ser feita pelo professor restante:  
3 * 3 * 2 * 1 = 18
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Análise Combinatória  Empty Re: Análise Combinatória

Mensagem por Mateus Meireles Qua 08 Dez 2021, 17:17

Olá claralirasll,

A terceira apresentação também pode ser feita por qualquer um dos três professores. Na verdade, qualquer apresentação pode ser feita por qualquer professor.

Veja que na sua contagem está sendo considerada duas coisas:

1) A terceira apresentação não está podendo ser realizada por qualquer professor
2) A última apresentação está sendo realizada apenas por um professor.


Eu pensei em uma ideia mas não acho que seja inteligente, se não pensar em nada melhor eu mando aqui.

Abs.



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Análise Combinatória  Empty Re: Análise Combinatória

Mensagem por Mateus Meireles Qua 08 Dez 2021, 17:31

Acho que já perdi o tato pras questões de contagem.. então vou mandar essa ideia mesmo.

Imagine, inicialmente, que não há restrição alguma para o problema. Assim, cada apresentação pode ser realizada de 3 modos: por qualquer um dos três professores! Ou seja, há 3·3·3·3 = 34 = 81 modos das apresentações serem organizadas. Porém, algumas dessas seleções não satisfazem o enunciado: quando nem todos os professores apresentam pelo menos uma apresentação. Estes casos são

I) Quando apenas um professor apresenta: 3 casos. Professor A apresentando todas as apresentações, professor B apresentando todas as apresentações e professor C apresentando todas as apresentações;

II) Quando apenas dois professores apresentam:

Os casos em que apenas dois professores apresentam são em número de C(3,2) = 3 (escolha dos professores para apresentarem) vezes 2·2·2·2 = 16 (modos de distribuir as apresentações entre esses professores) = 48.
Agora, desses 48 casos, alguns estão sendo contados mais de uma vez. Os grupos de professores escolhidos são: AB / AC / BC, e quando ocorre a divisão das apresentações, estamos contabilizando, novamente, os casos em que apenas o professor A apresenta sozinho (uma vez quando selecionamos o grupo AB e uma vez quando selecionamos o grupo AC), apenas o professor B apresenta sozinho (uma vez quando selecionamos o grupo AB e uma vez quando selecionamos o grupo BC) e apenas o professor C apresenta sozinho (uma vez quando selecionamos AC e uma vez quando selecionamos BC). Daí, devemos retirar 6 desses 48 casos, pois estamos retirando o mesmo caso mais de uma vez e estes casos já foram contabilizados em I).


Portanto, a resposta procurada é 81 - 3 - 42 = 36.

Abs.

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Mensagem por claralirasll Qua 08 Dez 2021, 21:23

Boa noite, @MateusMeireles! 


Enquanto lia e entendia sua resolução (achei bem interessante esse caminho, ainda não tinha visto algo assim), pensei em uma solução por permutações de elementos repetidos que talvez seja mais simples.

Existem três casos possíveis: o professor A faz duas das quatro apresentações; o professor B faz duas das quatro apresentações; o professor C faz duas das quatro apresentações. Dessa forma, as possibilidades são: 

AABC ->  [latex]P_{4}^{2}[/latex]= 12 
BBAC ->  [latex]P_{4}^{2}[/latex]= 12 
CCAB ->  [latex]P_{4}^{2}[/latex]= 12 

Como pode ocorrer ou uma coisa ou outra, a soma das possibilidades é 36.
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Mensagem por Mateus Meireles Qua 08 Dez 2021, 22:13

Hahahah, muito bom!!

Eu sabia que era pra ter uma ideia melhor, show!!

Abs.



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