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Mensagem por Nuventa Qui 02 Dez 2021, 09:58

Seja f: R ⟹ R, dada pela lei:
f(x)={x², se x ≤ 0
f(x)={∛x, se x > 0

Determine:
d) f⁻¹ ([1,16])
e) f⁻¹ ([-1,16])

Me ajudem a entender como responde essas duas
Desde já, agradeço!
 
Resposta da letra d = {-1, 1, -4, 2∛2}
Resposta da letra e = [-4, 2∛2]


Última edição por Nuventa em Sex 03 Dez 2021, 11:09, editado 1 vez(es)

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Mensagem por Emanoel Mendonça Qui 02 Dez 2021, 14:04

Boa tarde,

Como temos restrição no intervalo do domínio, podemos fazer a inversa sem problemas, pois a função tem bijeção.


Da definição de função inversa temos;


d) ∛x = 1,16 --> x ~= 1,01 -> f^-1 (1,16) ~= 1,01


e) Repare que a imagem, tanto para x ≤ 0 e x >0 será sempre x≥0, sabemos que a imagem passa a ser o domínio na inversa, logo f^-1 (-1,16) não existe.


Última edição por Emanoel Mendonça em Dom 05 Dez 2021, 17:28, editado 1 vez(es)
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Mensagem por Nuventa Qui 02 Dez 2021, 14:36

@Emanoel Mendonça escreveu:Boa tarde,

Como temos restrição no intervalo do domínio, podemos fazer a inversa sem problemas, pois a função tem bijeção.

Da definição de função inversa temos;

d) ∛x = 1,16 --> x ~= 1,01 -> f^-1 (1,16) ~= 1,01

e) Repare que a imagem, tanto para x ≤ 0 e x >0 será sempre x≥0, sabemos que a imagem passa a ser o domínio na inversa, logo f^-1 (-1,16) não existe.
Só que [1,16] é um intervalo, tipo são números que estão entre o 1 e o 16, e aí na resposta vc considerou o 1,16.

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Mensagem por qedpetrich Qui 02 Dez 2021, 14:58

Boa tarde a todos;

Creio que seja desta maneira:

d) Calculando f⁻¹(x), para o respectivo intervalo, logo:

Imagem Inversa Gif

O máximo e o mínimo da função da-se por:

Imagem Inversa Gif.latex?f%5E%7B-1%7D%28x%29%20%3D%20x%5E%7B3%7D%20%5C%20%5Crightarrow%20%5C%20%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20x%20%3D%201%20%5C%20%5Crightarrow%20%5C%20f%5E%7B-1%7D%281%29%20%3D%201%20%26%20%5C%5C%20%5C%5C%20x%3D16%20%5C%20%5Crightarrow%20%5C%20f%5E%7B-1%7D%2816%29%3D%204096%20%26%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright

De maneira análoga para a letra E. Faça para dois intervalos de [-1,0] e de ]0,16].

Espero ter ajudado!
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Mensagem por Nuventa Qui 02 Dez 2021, 15:19

Consegui responder:
letra d)  f⁻¹ ([1,16])
Como a função é inversa, a imagem vai ser o valor de x:
Para y=1 temos x= -1, porque como é negativo vai ser aplicado na f(x)=x² e nos dará o resultado de y=1; então confirma!
Para y=1 ainda temos a possibilidade do 1 positivo, que quando aplicado na função f(x)=∛x nos dará y=1; então confirma!

Para y=16, temos a possibilidade de ser negativo com x= -4, quando aplicado na f(x)=x² nos dá y=16; então confirma!
Para y=16 ainda temos a possibilidade do x positivo, para descobrirmos o valor de x:
-Qual o valor que substituindo x na raiz nos dará exatamente 16?
E assim: f(x)=∛x como y=16 e y=f(x) logo 16=∛x ,   x= 16^(1/3)  leve em consideração esse símbolo (^)como elevado, fatorando 16 vemos que 16=2⁴ , substituindo no cálculo anterior,x=(2⁴)^(1/3) multiplicando os expoentes temos x=2^(4/3) , colocando em forma de raiz temos x= ∛2⁴, podemos escrever 2⁴ como 2³.2¹ assim vou poder reescrever  e separar  duas raízes e assim fica: x= ∛2³.2¹ logo x=∛2³.∛2, raiz cúbica de 2 ³ é o próprio 2 logo: x= 2∛2

Então temos a imagem de f⁻¹([1,16])=
{-1,1,-4,2∛2}

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Mensagem por qedpetrich Qui 02 Dez 2021, 15:28

Não entendi porque você utilizou a função x² para o intervalo x > 0. A função x² é para x ≤ 0. Creio que minha solução está coerente, não vejo problemas nela.
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Mensagem por Emanoel Mendonça Qui 02 Dez 2021, 18:56

Putz, interpretei errado kkkk perdão pelo equívoco, obrigado qedpetrich Imagem Inversa 1f600 
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Mensagem por Nuventa Sex 03 Dez 2021, 08:57

@qedpetrich escreveu:Não entendi porque você utilizou a função x² para o intervalo x > 0. A função x² é para x ≤ 0. Creio que minha solução está coerente, não vejo problemas nela.
Utilizei x² quando os valores foram negativos, x=-1 e quando x=-4. Não acho que a sua resposta esteja errada. Quando estava respondendo só tinha visto a outra resposta, por isso mandei kkkk
Aí quando mandei que fui ver que vc tinha mandado.

As respostas estão no final do livro porém não conseguia entender, por isso vim aqui. Más depois acabei por conseguir responder por aquele raciocínio que mandei .
Más muito obrigada pela ajuda!  Smile

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Mensagem por qedpetrich Sex 03 Dez 2021, 09:01

Maravilha! Só não se esqueça de anexar o gabarito nas próximas postagens, você acabou infringindo as regras do fórum, sabia a resposta e não integrou ao corpo de texto.

Disposição do PiR²:

XI- Não use letras maiúsculas para o título ou o corpo do texto da questão. Quando uma questão possui alternativas estas FAZEM PARTE  da questão e devem ser postadas integralmente. Da mesma forma não deixe de postar a resposta  esperada, se a conhecer. Isso será de valia para quem tentar ajudá-lo(a).
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Mensagem por Nuventa Sex 03 Dez 2021, 10:47

@qedpetrich escreveu:Maravilha! Só não se esqueça de anexar o gabarito nas próximas postagens, você acabou infringindo as regras do fórum, sabia a resposta e não integrou ao corpo de texto.

Disposição do PiR²:

XI- Não use letras maiúsculas para o título ou o corpo do texto da questão. Quando uma questão possui alternativas estas FAZEM PARTE  da questão e devem ser postadas integralmente. Da mesma forma não deixe de postar a resposta  esperada, se a conhecer. Isso será de valia para quem tentar ajudá-lo(a).
Ops, desculpe!
Não vai mais se repetir!
Muito obrigada Smile

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