Quadriláteros e Triângulos - CN/EPCAR

Considere a seguinte figura, em que ABCD é um quadrado de lado 1. A respeito da figura, pede-se para analisar a veracidade das seguintes assertivas e assinalar a alternativa correta.



I. 

II. O perímetro do triângulo EFC é igual a 1.

III. 

a) V, V, F
b) F, V, V
c) F, F, F
d) V, F, V

Gabarito:

É fácil ver que DAE=25 e BAF=20.
Seja P um ponto tal que a reta AP divide o angulo EAF de forma que EAP=25 e FAP 20.

Seja E' a projeção de E em AP e F' a projeção de F' em AP.

Pelo caso LAA, temos que EAD é côngruo a EAE' (angulo EAD = EAE', D e E' são retos e compartilham a mesma hipotenus AE). Assim, AE'=AD=1
 Analogamente, FAF' é congruo a FAB, então AF'=AB=1

assim, AF'=AE', então F'=E' =: M
Desde que EMA=FMA=90, E, M e F são colineares
Descobrimos, então, que x=AEF=65º e EFA=70º

Veja que DE=EM e BF=FM
então
P(EFC)=EF+EC+FC=(EM+MF)+EC+FC=(EM+EC)+(FM+FC)=(ED+EC)+(FB+FC)=DC+BC=2

portanto o perimetro do triangulo é 2
e
2(EF+EC+FC)=4
VFV

Excelentes soluções, colegas. Muitíssimo obrigado, safaram demais!