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Qual a diferença entre essas abordagens?

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Mensagem por rundaris Dom 28 Nov 2021, 21:02

Numa caixa existem 18 bolinhas, sendo 6 pretas, 6 vermelhas e 6 brancas. Uma pessoa retira uma bolinha de cada vez e sem reposição. Se essa pessoa tirar 6 bolinhas pretas sem tirar todas as 6 vermelhas e sem tirar todas as 6 brancas, ela vencerá o jogo. Ou seja, para não perder o jogo, ela pode tirar no máximo 5 bolinhas vermelhas e no máximo 5 bolinhas brancas. Qual a probabilidade da pessoa ganhar o jogo?

Primeira abordagem:

[latex]\frac{\binom{6}{6}\binom{6}{0}\binom{6}{0}}{\binom{18}{6}} + \frac{\binom{6}{6}\binom{6}{0}\binom{6}{1}}{\binom{18}{7}} + \frac{\binom{6}{6}\binom{6}{0}\binom{6}{2}}{\binom{18}{8}}+...+\frac{\binom{6}{6}\binom{6}{0}\binom{6}{5}}{\binom{18}{11}}+\frac{\binom{6}{6}\binom{6}{1}\binom{6}{0}}{\binom{18}{7}}+...+\frac{\binom{6}{6}\binom{6}{5}\binom{6}{5}}{\binom{18}{16}}=\sum_{i=0}^{5}\sum_{j=0}^{5}\frac{\binom{6}{6}\binom{6}{i}\binom{6}{j}}{\binom{18}{6+i+j}}=0.7912[/latex]


Segunda abordagem:

[latex]\frac{6}{18}\frac{0}{18}\frac{0}{18}+\frac{6}{18}\frac{0}{18}\frac{1}{18} + ... + \frac{6}{18}\frac{5}{18}\frac{5}{18}=\sum_{i=0}^{5}\sum_{j=0}^{5}\frac{6}{18}\frac{i}{18}\frac{j}{18} =0.2314[/latex]


Terceira abordagem:

[latex]\frac{6}{18}\frac{0}{12}\frac{0}{12}+\frac{6}{18}\frac{0}{12}\frac{1}{12}+...+\frac{6}{18}\frac{0}{12}\frac{5}{12}+\frac{6}{18}\frac{1}{12}\frac{0}{11}+...+\frac{6}{18}\frac{5}{12}\frac{5}{7}=\sum_{i=0}^{5}\sum_{j=0}^{5}\frac{6}{18}\frac{i}{12}\frac{j}{12-i}=0.7660[/latex]

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Qual a diferença entre essas abordagens? Empty Re: Qual a diferença entre essas abordagens?

Mensagem por joaoZacharias Qua 01 Dez 2021, 11:59

Na primeira abordagem você calculou o equivalente ao seguinte:

[latex]\sum\limits_{i=6}^{\mbox{16}}{P(G |T_i \cap O_n)}[/latex]

onde G são os eventos em que se ganha o jogo, On implica que a ordem de retirada das bolas não importa e Ti impõe a condicional que o jogo termina na i-ésima rodada. Resumindo o que você calculou foi a soma das probabilidades de se ganhar o jogo sabendo que a ordem de retirada das bolas não é relevante e que o jogo termina em uma dada rodada. Aqui já temos um problema, porque o o enunciado não desconsidera a ordem de retirada das bolas. Ao contrário, ele diz que elas são retiradas uma a uma. Mas vamos conferir se o raciocínio estaria certo se a gente fizesse as considerações certinhas de ordem tal como segue:

[latex]\sum\limits_{i=6}^{\mbox{16}}{P(G |T_i )}[/latex]

Temos que calcular a probabilidade de ganhar o jogo(P(G)). Podemos ganhar o jogo somente na rodada de número i, [latex] 6\le i \le 16 [/latex] então é coerente dizer que que o jogo termina nessas rodadas se ele é ganho:

[latex]P(G) = P(G\cap(T_6 \cup T_7 \cup T_8 \cup T_9 \cup T_{10} ....... \cup T_{15} \cup T_{16}))[/latex].

Observe ainda que se o jogo termina na sétima rodada ele não termina na oitava, nem na nona e nem na décima, generalizando os conjuntos Ti e Tj são disjuntos desde que i ≠ j, portanto:

[latex]P(G) = \sum\limits_{i=6}^{\mbox{16}}{P(G \cap T_i)}[/latex].

è definição de probabilidade condicional o seguinte:

[latex]\text{ } P(G\cap T_j ) = P(G|T_j) \cdot P(T_j)[/latex]

Assim temos:

[latex]P(G) = \sum\limits_{i=6}^{\mbox{16}}{P(G|T_i) \cdot P(T_i)}[/latex].

Como todo P(Tj) < p(Ω) =1, [latex] 6\le j \le 16 [/latex], a primeira abordagem, mesmo considerando a ordem de retirada levaria a um valor maior que o procurado:

[latex]\sum\limits_{i=6}^{\mbox{16}}{P(G |T_i )} > \sum\limits_{i=6}^{\mbox{16}}{P(G|T_i) \cdot P(T_i)}[/latex]

As segunda e terceira abordagens estão extremamente fora da curva. Eu não consigo formular uma linha de raciocínio simples para explicar o porque de estarem tão incorretas. Mas, é possível dizer que elas não tem nada a ver com o cálculo de:

[latex]P(G) = P(G\cap(T_6 \cup T_7 \cup T_8 \cup T_9 \cup T_{10} ....... \cup T_{15} \cup T_{16}))[/latex].

A maneira mais simples de calcular esse problema, pelo menos conceitualmente, é:

[latex]\frac{\text{numero de vitorias}}{\text{numero de vitorias + numero de derrotas}} = \frac{\sum\limits_{i=6}^{\mbox{16}}{\text{numero de vitorias na rodada(i)}}}{\sum\limits_{i=6}^{\mbox{16}}{\text{numero de vitorias na rodada(i)}} + \sum\limits_{i=6}^{\mbox{16}}{\text{numero de derrotas na rodada(i)}}} [/latex]



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