Ajuda em Calculo

Seja f: (0;2) → (1;11) dada por f(x)=x+x³+1. Note que f(1)=3. Calcule [latex](f^{-1})' (3)[/latex]

Olá zealm155! 

Sua postagem está em desacordo com a regra VII do fórum. Peço que edite a postagem, alterando o título da mensagem para refletir a natureza da pergunta (algo como "Derivada de função inversa").

Feito isso, vamos à solução...

[latex]\\\bullet\;f\left (f^{-1}\left( x \right ) \right ) = x\\\\ \xrightarrow{\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}}\left [ f\left (f^{-1}\left( x \right ) \right ) \right ]' = 1\\\\ \rightarrow\; f'\left (f^{-1}\left( x \right ) \right )\cdot \left [ f^{-1}\left( x \right ) \right ]'=1\\\\ \rightarrow\;\boxed{ \left [ f^{-1}\left( x \right ) \right ]' = \frac{1}{ f'\left (f^{-1}\left( x \right ) \right )} }[/latex]

Agora substituindo os valores dados na questão:

[latex]\\\bullet\;f(1)=3\rightarrow f^{-1}(3) = 1\\\\ \rightarrow \left [ f^{-1}\left( 3 \right ) \right ]' = \frac{1}{ f'\left (f^{-1}\left( 3 \right ) \right )}=\frac{1}{f'\left ( 1 \right )}\\\\ \rightarrow\;\boxed{\left [ f^{-1}\left( 3 \right ) \right ]' = \frac{1}{4}} [/latex]

zealm155

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