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Fesp-95 (Conceitos gerais de Funções)

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Resolvido Fesp-95 (Conceitos gerais de Funções)

Mensagem por Gabriel vitorio Ter 19 Out 2021, 16:22

(Fesp-95)- Assinale as alternativas corretas:
(0)- Se [latex]f:\mathbb{R} - \left \{ 1 \right \}\rightarrow \mathbb{R} - \left \{ 3 \right \}[/latex]definida por:[latex]f\left ( x \right )=\frac{3x+1}{x-1} [/latex], então [latex]f^{-1}\left ( x \right ) = \frac{x+1}{x-3}[/latex]
(1)- Se f é uma função tal que [latex]f\left ( x+y \right ) = f\left ( x \right ).f\left ( y \right )[/latex] [latex]f\left ( 1 \right )= 3 [/latex] então [latex]f\left ( n \right ) = 3^{n}.[/latex]
(2)- Se [latex]f\left ( x+2 \right )= x-1[/latex] então [latex]f\left ( x \right ) [/latex] é uma função impar.
(3)- Se f é uma função par e  [latex]g\left ( x \right )= \frac{1}{f\left ( x \right )} [/latex] , então f é uma função par para todo x pertencente ao dominio de g.
(4)- Se [latex]f\left ( g\left ( x \right ) \right )= 2x-1 [/latex] e [latex]f\left ( x \right )= x+1 [/latex] ,então [latex]g\left ( x \right )= x-1[/latex]
Infelizmente não tenho o gabarito, porém acredito que somente a (0) esteja correta.. 


Última edição por Gabriel vitorio em Ter 19 Out 2021, 19:45, editado 1 vez(es)

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Resolvido Re: Fesp-95 (Conceitos gerais de Funções)

Mensagem por Elcioschin Ter 19 Out 2021, 16:56

0) y = (3.x + 1)/(x - 1) --> Invertendo variáveis:

x = (3.y + 1)/(y - 1) ---> y.x - x = 3.y + 1 ---> y.x - 3.y = x + 1 --->

y = (x + 1)/(x - 3) ---> f-¹(x) = (x + 1)/(x - 3)

b) f(x + y) = f(x).f(y) ---> f(1) = 3

Para x = 0 e y = 1 ---> f(0 + 1) = f(0).f(1) ---> f(1) = f(0).f(1) ---> f(0) = 1

Para x = y = 1 ---> f(1 + 1) = f(1).f(1) ---> f(2) = 3.3 ---> f(2) = 9

Falsa

2) f(x + 2) = x - 1 ---> Fazendo y = x + 2 ---> x = y - 2 --->

f(y) = (y - 2) - 1 ---> f(y) = y - 3 ---> f(x) = x - 3 ---> Verifique se é ímpar

3) Exemplo f(x) = 2 ---> par ---> g(x) = 1/2 ---> Par

4) g(x) = a.x + b

f(x) = x - 1 ---> f[g(x)] = g(x) - 1 ---> 2.x - 1 = 2.(a.x + b) - 1 --->

2.x - 1 = 2.a.x + 2.b - 1 --->

2.a = 2 ---> a = 1
2.b + 1 = - 1 ---> b = - 1

g(x) = x - 1
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Resolvido Re: Fesp-95 (Conceitos gerais de Funções)

Mensagem por Gabriel vitorio Ter 19 Out 2021, 18:00

Na (3), poderia tentar explicar de outra maneira ? 
Na(4), considerando f(g(x))=2x-1 e sabendo que f(x)=x+1 temos então f(g)=g+1 logo: g+1=2x-1 -> a.x+b+1=2x-1 -> a=2 e b+1=-1 -> b=-2 
ou seja: g(x)=2x-2 não achei meu erro..
e obrigado pela resposta   Smile

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Resolvido Re: Fesp-95 (Conceitos gerais de Funções)

Mensagem por qedpetrich Ter 19 Out 2021, 19:23

Olá Gabriel vitorio;

Na (3) o Elcio aplicou para f(x) = 2 que é uma função par e constante e provou que o inverso de f(x) ou seja g(x) = 1/2 que é também uma função par e constante para todo x pertencente ao domínio de g. 

Na (4) concordo com sua solução, acredito que o Elcio sem querer acabou trocando f(x) por g(x). Pois na mesma resolução utilizou f(x) = x - 1 ---> f(x) = x + 1. Apenas um detalhe.

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Resolvido Re: Fesp-95 (Conceitos gerais de Funções)

Mensagem por Gabriel vitorio Ter 19 Out 2021, 19:44

obrigado  Fesp-95 (Conceitos gerais de Funções) 1f44d

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Resolvido Re: Fesp-95 (Conceitos gerais de Funções)

Mensagem por Sbr(Ryan) Sáb 02 Dez 2023, 20:29

Elcioschin escreveu:0) y = (3.x + 1)/(x - 1) --> Invertendo variáveis:

x = (3.y + 1)/(y - 1) ---> y.x - x = 3.y + 1 ---> y.x - 3.y = x + 1 --->

y = (x + 1)/(x - 3) ---> f-¹(x) = (x + 1)/(x - 3)

b) f(x + y) = f(x).f(y) ---> f(1) = 3

Para x = 0 e y = 1 ---> f(0 + 1) = f(0).f(1) ---> f(1) = f(0).f(1) ---> f(0) = 1

Para x = y = 1 ---> f(1 + 1) = f(1).f(1) ---> f(2) = 3.3 ---> f(2) = 9

Falsa

2) f(x + 2) = x - 1 ---> Fazendo y = x + 2 ---> x = y - 2 --->

f(y) = (y - 2) - 1 ---> f(y) = y - 3 ---> f(x) = x - 3 ---> Verifique se é ímpar

3) Exemplo f(x) = 2 ---> par ---> g(x) = 1/2 ---> Par

4) g(x) = a.x + b

f(x) = x - 1 ---> f[g(x)] = g(x) - 1 ---> 2.x - 1 = 2.(a.x + b) - 1 --->

2.x - 1 = 2.a.x + 2.b - 1 --->

2.a = 2 ---> a = 1
2.b + 1 = - 1 ---> b = - 1

g(x) = x - 1
Bom vi essa questão no livro do Rufino, no gabarito consta que a 1 e 3 estão certas, mas acho que a 0 também está.

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