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INEQUAÇÕES

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Resolvido INEQUAÇÕES

Mensagem por Jvictors021 Qua 13 Out 2021, 23:25

Pessoal ternho uma dúvida sobre inequações modulares, irei dar dois exemplos de inequações:
1) |6y - 1| ≥ 5y - 10
2) |2y + 4| ≤ 8

O exemplo 1 só sai completo se fizer da seguinte forma:
|6y - 1| = (6y -1) se y ≥ 1/6
|6y - 1| = - (6y -1) se y ≤ 1/6
Por conta que o resultado sera a própia restrição

Caso apliquemos a propiedade modular: 
|Z| ≥ H ---> Z ≥ H ou Z ≤ - H

E após isso unirmos os intervalos chegaremos a resultados distintos (se não errei a conta) o conjunto solução fazendo dessa segunda maneira será [-9, 1] e da maneira acima [-, +] gostaria de saber o motivo disso e o que estou fazendo de errado!


Exemplo 2) consegui fazer das duas formas e achar os mesmos resultados ( x ≥ -6 e x  ≤ 2)


Última edição por Jvictors021 em Dom 17 Out 2021, 12:46, editado 2 vez(es)
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Resolvido Re: INEQUAÇÕES

Mensagem por qedpetrich Qui 14 Out 2021, 00:00

Olá Jvictors;

Você precisa reforçar a teoria, seus cálculos estão parcialmente corretos, em relação aos valores encontrados, mas não na solução definitiva.

INEQUAÇÕES Png.latex?%7C6y-1%7C%20%3D%20%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%206y-1%2C%20%5C%20se%20%5C%20y%20%5Cgeq%20%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D%20%26%20%5C%5C%20%5C%5C%20-6y+1%2C%20%5C%20se%20%5C%20y%20%3C%20%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D%20%26%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright

Se y > 1/6, logo:

INEQUAÇÕES Png

Mas como temos a condição de y > 1/6, logo, nossa solução acaba sendo a própria condição:

INEQUAÇÕES Png

Se y < 1/6, logo:

INEQUAÇÕES Png

Mas como temos a condição de y < 1/6, logo, nossa solução acaba sendo a própria condição:

INEQUAÇÕES Png

Nossa solução é a união de S e S':

INEQUAÇÕES Png

Você tem que se lembrar das condições modulares.

No seu segundo caso é diferente a aplicação da propriedade modular, utilizando a mesma nomenclatura:

INEQUAÇÕES Png

INEQUAÇÕES Png

Espero ter sido claro. Qualquer dúvida à disposição!

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Resolvido Re: INEQUAÇÕES

Mensagem por Jvictors021 Qui 14 Out 2021, 00:22

qedpetrich escreveu:Olá Jvictors;

Você precisa reforçar a teoria, seus cálculos estão parcialmente corretos, em relação aos valores encontrados, mas não na solução definitiva.

INEQUAÇÕES Png.latex?%7C6y-1%7C%20%3D%20%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%206y-1%2C%20%5C%20se%20%5C%20y%20%5Cgeq%20%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D%20%26%20%5C%5C%20%5C%5C%20-6y&plus;1%2C%20%5C%20se%20%5C%20y%20%3C%20%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D%20%26%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright

Se y > 1/6, logo:

INEQUAÇÕES Png

Mas como temos a condição de y > 1/6, logo, nossa solução acaba sendo a própria condição:

INEQUAÇÕES Png

Se y < 1/6, logo:

INEQUAÇÕES Png

Mas como temos a condição de y < 1/6, logo, nossa solução acaba sendo a própria condição:

INEQUAÇÕES Png

Nossa solução é a união de S e S':

INEQUAÇÕES Png

Você tem que se lembrar das condições modulares.

No seu segundo caso é diferente a aplicação da propriedade modular, utilizando a mesma nomenclatura:

INEQUAÇÕES Png

INEQUAÇÕES Png

Espero ter sido claro. Qualquer dúvida à disposição!
qedpetrich, veja bem em " Caso apliquemos a propiedade modular: |Z| ≥ H ---> Z ≥ H ou Z ≤ - H" eu me refiro ao primeiro caso e não ao segundo.

Irei dar outro exemplo:
2x + 1 > 3|x-3| 
caso façamos como você demostra no primeiro exemplo meu com as restrições, nesse caso seria:
|x-3| = x-3 se x >3 
|x-3| = -x + 3 se x<3 
.... 
chegaremos em (8/5, 3) U (3,10)


Mas agora que vem o ponto chave da dúvida: 
caso apliquemos a propiedade modular que você mesmo apresenta: 


INEQUAÇÕES Png


teremos -2x -1 < 3x - 9 < 2x + 1 e desenvolvendo dará x> 8/5 e x< 10 
creio que o erro esteja na parte grifada, mas a propiedade não diz nada sobre (não que eu saiba) 

Gostaria de saber o motivo dessa divergencia entre resolver dessa forma (os exemplos abaixo são apenas para ilustrar essas 2 maneiras de fazer as quais você mesmo apresenta)

INEQUAÇÕES Png.latex?%7C6y-1%7C%20%3D%20%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%206y-1%2C%20%5C%20se%20%5C%20y%20%5Cgeq%20%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D%20%26%20%5C%5C%20%5C%5C%20-6y&plus;1%2C%20%5C%20se%20%5C%20y%20%3C%20%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D%20%26%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright
ou dessa forma 

INEQUAÇÕES Png


obs: qedpetrich Já esta com mais de 500 mensagens, meus parabéns, está voando e com certeza tens ajudado muitas pessoas
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Resolvido Re: INEQUAÇÕES

Mensagem por qedpetrich Qui 14 Out 2021, 00:49

Utilizando o seu exemplo:

Vamos fazer por partes, sempre recorra à definição geral de um módulo, não dependa de propriedades, as propriedades de fato aceleram os cálculos, mas como você quer (acredito eu) aprender de verdade não de bola para elas agora.

Definição geral:

INEQUAÇÕES Png.latex?%7Cx%7C%20%3D%20%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20x%2C%20%5C%20se%20%5C%20x%20%5Cgeq%200%20%26%20%5C%5C%20-x%2C%20%5C%20se%5C%20x%20%3C%200%20%26%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright

Aplicando ao seu exemplo dado:

INEQUAÇÕES Png.latex?%7Cx-3%7C%20%3D%20%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20x-3%2C%20%5C%20se%20%5C%20x%20%5Cgeq%203%20%26%20%5C%5C%20-x&plus;3%2C%20%5C%20se%20%5C%20x%20%3C%203%20%26%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright

Certo, vamos fazer para o caso em que x ≥ 3, desta forma garantimos que qualquer valor respectivo para f(x) = x - 3 é positivo, logo:

INEQUAÇÕES Png

Mas acabamos de definir o intervalo, ou seja, x ≥ 3, portanto nossa solução é:

INEQUAÇÕES Png

Fazendo desta forma estaremos respeitando o respectivo intervalo, isso nos garante que o valor é positivo.

Agora fazemos para o segundo caso, onde o intervalo é definido por x < 3, desta forma garantimos que qualquer valor respectivo para g(x) = -x + 3 é positivo, exemplo: g(2) = -2 + 3 = 1 OK. Logo:

INEQUAÇÕES Png

Mas análogo ao desenvolvimento anterior o intervalo já se encontra definido para x < 3, ou seja, nossa solução é:

INEQUAÇÕES Png

Nossa solução é a união de S com S', logo:

INEQUAÇÕES Png

Você acabou calculando alguma coisa erroneamente, não posso dizer o que pois você não apresentou os cálculos. Use essa dica, não dependa de fórmulas, tente construir seu próprio raciocínio, domine o básico e veras resultado. Espero ter ajudado, obrigado pela observação, qualquer coisa estamos aí!

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Resolvido Re: INEQUAÇÕES

Mensagem por Jvictors021 Qui 14 Out 2021, 01:54

qedpetrich escreveu:Utilizando o seu exemplo:

Vamos fazer por partes, sempre recorra à definição geral de um módulo, não dependa de propriedades, as propriedades de fato aceleram os cálculos, mas como você quer (acredito eu) aprender de verdade não de bola para elas agora.

Definição geral:

INEQUAÇÕES Png.latex?%7Cx%7C%20%3D%20%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20x%2C%20%5C%20se%20%5C%20x%20%5Cgeq%200%20%26%20%5C%5C%20-x%2C%20%5C%20se%5C%20x%20%3C%200%20%26%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright

Aplicando ao seu exemplo dado:

INEQUAÇÕES Png.latex?%7Cx-3%7C%20%3D%20%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20x-3%2C%20%5C%20se%20%5C%20x%20%5Cgeq%203%20%26%20%5C%5C%20-x&plus;3%2C%20%5C%20se%20%5C%20x%20%3C%203%20%26%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright

Certo, vamos fazer para o caso em que x ≥ 3, desta forma garantimos que qualquer valor respectivo para f(x) = x - 3 é positivo, logo:

INEQUAÇÕES Png

Mas acabamos de definir o intervalo, ou seja, x ≥ 3, portanto nossa solução é:

INEQUAÇÕES Png

Fazendo desta forma estaremos respeitando o respectivo intervalo, isso nos garante que o valor é positivo.

Agora fazemos para o segundo caso, onde o intervalo é definido por x < 3, desta forma garantimos que qualquer valor respectivo para g(x) = -x + 3 é positivo, exemplo: g(2) = -2 + 3 = 1 OK. Logo:

INEQUAÇÕES Png

Mas análogo ao desenvolvimento anterior o intervalo já se encontra definido para x < 3, ou seja, nossa solução é:

INEQUAÇÕES Png

Nossa solução é a união de S com S', logo:

INEQUAÇÕES Png

Você acabou calculando alguma coisa erroneamente, não posso dizer o que pois você não apresentou os cálculos. Use essa dica, não dependa de fórmulas, tente construir seu próprio raciocínio, domine o básico e veras resultado. Espero ter ajudado, obrigado pela observação, qualquer coisa estamos aí!
Meu caro, na verdade você que se equivocou... 
veja que você na verdade usou (x-1) e (-x +1) ao invés de (x-3) e (-x + 3) respectivamente 

veja o erro: 2x +1 > 3(x-1) 


Irei demostrar meus calculos para que fique mais claro a ideia 

MÉTODO 1 
2x + 1 > 3|x-3| 

|x-3| = x-3 se x >3 
|x-3| = -x + 3 se x<3 

2x +1 > 3x - 9  se x >3 
x < 10 e x>3 logo (3,10) é um dos intervaos que satisfaz

2x +1 > -3x + 9  se x < 3 
5x > 8 
x> 8/5 e x < 3, logo (8/5, 3) é um dos intervaos que satisfaz

Resposta : (8/5, 3) U (3,10)

MÉTODO 2 (DÚVIDA)

Retomando a dúvida... 
Propiedade modular : INEQUAÇÕES Png a qual é apresentada em diversos livros e creio que não seja um apenas um "macete"
2x + 1 > 3|x-3|
-2x -1 < 3x - 9 < 2x + 1 
separando em 2 casos teremos:

1) -2x -1 < 3x -9 
5x> 8 --> x > 8/5 = SOLUÇÃO 1

2) 3x - 9 < 2x + 1 
x < 10  = SOLUÇÃO 2

Resposta: S1 U S2 = (8/5, 10) OU  10> X > 8/5 

Por fim veja que as respostas estão diferentes a primeira maneira que fiz esta correta, entretanto a segunda há algum erro ( uma condição de existência que eu não saiba talvez que eu devia ter usado para que as respostas se equivalecem)
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Resolvido Re: INEQUAÇÕES

Mensagem por Jvictors021 Sex 15 Out 2021, 23:34

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Resolvido Re: INEQUAÇÕES

Mensagem por qedpetrich Sáb 16 Out 2021, 13:10

Opa, desculpa a demora. 

Baaa, nem vi, perdão, usei |x-1| mesmo tava com sono já essa hora kkkkkk. Amigo, você calculou tudo certo, vejo que seu problema é sobre operações de conjuntos, acho que você já dominou as inequações e operações modulares. Vou explicar:

No seu primeiro método você obteve (8/5, 3) U (3,10), ou seja, temos uma união de dois conjuntos, que resulta em:

(8/5, 3) U [3,10) 

segunda parte apenas uma correção:

1) -2x -1 < 3x -9 
5x> 8 --> x > 8/5 = SOLUÇÃO 1

2) 3x - 9 < 2x + 1 
x < 10  = SOLUÇÃO 2

Calculou corretamente, tudo certo, fez por partes, resolveu o lado esquerdo, depois o lado direito OK.

Resposta: S1 U S2 = (8/5, 10) OU  10> X > 8/5 

Essa parte está errada, não se faz a união entre S1 e S2, faz-se a intersecção de S1 e S2, pois veja bem, você resolveu primeiro para -2x - 1 < 3x - 9 e chegou em x > 8/5. A solução encontrada também deve ser solução de 3x - 9 < 2x + 1, aí se faz o uso da intersecção para validar os dois intervalos. Outra maneira de pensar: Temos a solução 1 E a solução 2, quando temos "E" faz-se uso da intersecção dos dois intervalos determinados.

INEQUAÇÕES Png

As soluções são iguais.

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Última edição por qedpetrich em Sáb 16 Out 2021, 16:07, editado 3 vez(es)

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Resolvido Re: INEQUAÇÕES

Mensagem por Jvictors021 Sáb 16 Out 2021, 15:56

qedpetrich escreveu:Opa, desculpa a demora. 

Baaa, nem vi, perdão, usei |x-1| mesmo tava com sono já essa hora kkkkkk. Amigo, você calculou tudo certo, vejo que seu problema é sobre operações de conjuntos, acho que você já dominou as inequações e operações modulares. Vou explicar:

No seu primeiro método você obteve (8/5, 3) U (3,10), ou seja, temos uma união de dois conjuntos, que resulta em:

(8/5, 3) U (3,10) = (8/5,10)

Já na segunda parte apenas uma correção:

1) -2x -1 < 3x -9 
5x> 8 --> x > 8/5 = SOLUÇÃO 1

2) 3x - 9 < 2x + 1 
x < 10  = SOLUÇÃO 2

Calculou corretamente, tudo certo, fez por partes, resolveu o lado esquerdo, depois o lado direito OK.

Resposta: S1 U S2 = (8/5, 10) OU  10> X > 8/5 

Essa parte está errada, não se faz a união entre S1 e S2, faz-se a intersecção de S1 e S2, pois veja bem, você resolveu primeiro para -2x - 1 < 3x - 9 e chegou em x > 8/5. A solução encontrada também deve ser solução de 3x - 9 < 2x + 1, aí se faz o uso da intersecção para validar os dois intervalos. Outra maneira de pensar: Temos a solução 1 E a solução 2, quando temos "E" faz-se uso da intersecção dos dois intervalos determinados.

INEQUAÇÕES Png

As soluções são iguais.

Qualquer dúvida estamos aí!
qedpetrich, na verdade veja que não podemos afirmar que (8/5, 3) U (3,10) = (8/5,10) pois temos intervalos ABERTOS, logo 3 não esta incluso em nenhum dos intervalos (8/5, 3) e (3,10)... 

Veja que a expressão que resulta nesse conjunto solução é: 
2x + 1 > 3|x-3|


Ao afirmar (8/5, 3) U (3,10) = (8/5,10), consequentemente estariamos afirmando que (8/5,10) possui o 3 como solução o que na verdade não ocorre 

Em relação a segunda explicação não entendi muito bem o que você quis fazer, pois as respostas deram o mesmo resultado...
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Resolvido Re: INEQUAÇÕES

Mensagem por qedpetrich Sáb 16 Out 2021, 16:04

Vou corrigir o correto é:

(8/5, 3) U [3,10) = (8/5,10)

Pois:

|x-3| = x-3, se x  3 ---> Acabou fazendo o uso errado da definição modular.

Pra acabar de vez com suas dúvidas, já expliquei, utilize a definição geral, mas como você quer utilizar as propriedades modulares, vou fazer um resumo genérico:

INEQUAÇÕES Png

Para a segunda (II), podemos ainda escrever em forma de sistema:

INEQUAÇÕES Png.latex?%7CZ%7C%20%5Cleq%20H%20%3D%20%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20-H%20%5Cleq%20Z%20%26%20%5C%5C%20e%5C%5C%20Z%20%5Cleq%20H%20%26%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright

Temos "e", por isso faz-se uso da intersecção da solução.

Em relação a: "Ao afirmar (8/5, 3) U (3,10) = (8/5,10), consequentemente estariamos afirmando que (8/5,10) possui o 3 como solução o que na verdade não ocorre "

Para x = 3 é solução sim, veja com seus próprios olhos:

2(3) + 1 > 3|3-3| ---> 6+1 > 0 ---> 7 > 0 é solução!

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Resolvido Re: INEQUAÇÕES

Mensagem por Jvictors021 Dom 17 Out 2021, 12:45

qedpetrich escreveu:Vou corrigir o correto é:

(8/5, 3) U [3,10) = (8/5,10)

Pois:

|x-3| = x-3, se x  3 ---> Acabou fazendo o uso errado da definição modular.

Pra acabar de vez com suas dúvidas, já expliquei, utilize a definição geral, mas como você quer utilizar as propriedades modulares, vou fazer um resumo genérico:

INEQUAÇÕES Png

Para a segunda (II), podemos ainda escrever em forma de sistema:

INEQUAÇÕES Png.latex?%7CZ%7C%20%5Cleq%20H%20%3D%20%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20-H%20%5Cleq%20Z%20%26%20%5C%5C%20e%5C%5C%20Z%20%5Cleq%20H%20%26%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright

Temos "e", por isso faz-se uso da intersecção da solução.

Em relação a: "Ao afirmar (8/5, 3) U (3,10) = (8/5,10), consequentemente estariamos afirmando que (8/5,10) possui o 3 como solução o que na verdade não ocorre "

Para x = 3 é solução sim, veja com seus próprios olhos:

2(3) + 1 > 3|3-3| ---> 6+1 > 0 ---> 7 > 0 é solução!
vlwww qedpetrich, zero dúvidas agora!! muito obrigado pela paciência... sucesso sempre meu caro amigo!
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