INEQUAÇÕES
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INEQUAÇÕES
Pessoal ternho uma dúvida sobre inequações modulares, irei dar dois exemplos de inequações:
1) |6y - 1| ≥ 5y - 10
2) |2y + 4| ≤ 8
O exemplo 1 só sai completo se fizer da seguinte forma:
|6y - 1| = (6y -1) se y ≥ 1/6
|6y - 1| = - (6y -1) se y ≤ 1/6
Por conta que o resultado sera a própia restrição
Caso apliquemos a propiedade modular:
|Z| ≥ H ---> Z ≥ H ou Z ≤ - H
E após isso unirmos os intervalos chegaremos a resultados distintos (se não errei a conta) o conjunto solução fazendo dessa segunda maneira será [-9, 1] e da maneira acima [-∞, +∞] gostaria de saber o motivo disso e o que estou fazendo de errado!
Exemplo 2) consegui fazer das duas formas e achar os mesmos resultados ( x ≥ -6 e x ≤ 2)
1) |6y - 1| ≥ 5y - 10
2) |2y + 4| ≤ 8
O exemplo 1 só sai completo se fizer da seguinte forma:
|6y - 1| = (6y -1) se y ≥ 1/6
|6y - 1| = - (6y -1) se y ≤ 1/6
Por conta que o resultado sera a própia restrição
Caso apliquemos a propiedade modular:
|Z| ≥ H ---> Z ≥ H ou Z ≤ - H
E após isso unirmos os intervalos chegaremos a resultados distintos (se não errei a conta) o conjunto solução fazendo dessa segunda maneira será [-9, 1] e da maneira acima [-∞, +∞] gostaria de saber o motivo disso e o que estou fazendo de errado!
Exemplo 2) consegui fazer das duas formas e achar os mesmos resultados ( x ≥ -6 e x ≤ 2)
Última edição por Jvictors021 em Dom 17 Out 2021, 12:46, editado 2 vez(es)
Jvictors021- Estrela Dourada
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Re: INEQUAÇÕES
Olá Jvictors;
Você precisa reforçar a teoria, seus cálculos estão parcialmente corretos, em relação aos valores encontrados, mas não na solução definitiva.
Se y > 1/6, logo:
Mas como temos a condição de y > 1/6, logo, nossa solução acaba sendo a própria condição:
Se y < 1/6, logo:
Mas como temos a condição de y < 1/6, logo, nossa solução acaba sendo a própria condição:
Nossa solução é a união de S e S':
Você tem que se lembrar das condições modulares.
No seu segundo caso é diferente a aplicação da propriedade modular, utilizando a mesma nomenclatura:
Espero ter sido claro. Qualquer dúvida à disposição!
Você precisa reforçar a teoria, seus cálculos estão parcialmente corretos, em relação aos valores encontrados, mas não na solução definitiva.
Se y > 1/6, logo:
Mas como temos a condição de y > 1/6, logo, nossa solução acaba sendo a própria condição:
Se y < 1/6, logo:
Mas como temos a condição de y < 1/6, logo, nossa solução acaba sendo a própria condição:
Nossa solução é a união de S e S':
Você tem que se lembrar das condições modulares.
No seu segundo caso é diferente a aplicação da propriedade modular, utilizando a mesma nomenclatura:
Espero ter sido claro. Qualquer dúvida à disposição!
qedpetrich- Monitor
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Re: INEQUAÇÕES
qedpetrich, veja bem em " Caso apliquemos a propiedade modular: |Z| ≥ H ---> Z ≥ H ou Z ≤ - H" eu me refiro ao primeiro caso e não ao segundo.qedpetrich escreveu:Olá Jvictors;
Você precisa reforçar a teoria, seus cálculos estão parcialmente corretos, em relação aos valores encontrados, mas não na solução definitiva.
Se y > 1/6, logo:
Mas como temos a condição de y > 1/6, logo, nossa solução acaba sendo a própria condição:
Se y < 1/6, logo:
Mas como temos a condição de y < 1/6, logo, nossa solução acaba sendo a própria condição:
Nossa solução é a união de S e S':
Você tem que se lembrar das condições modulares.
No seu segundo caso é diferente a aplicação da propriedade modular, utilizando a mesma nomenclatura:
Espero ter sido claro. Qualquer dúvida à disposição!
Irei dar outro exemplo:
2x + 1 > 3|x-3|
caso façamos como você demostra no primeiro exemplo meu com as restrições, nesse caso seria:
|x-3| = x-3 se x >3
|x-3| = -x + 3 se x<3
....
chegaremos em (8/5, 3) U (3,10)
Mas agora que vem o ponto chave da dúvida:
caso apliquemos a propiedade modular que você mesmo apresenta:
teremos -2x -1 < 3x - 9 < 2x + 1 e desenvolvendo dará x> 8/5 e x< 10
creio que o erro esteja na parte grifada, mas a propiedade não diz nada sobre (não que eu saiba)
Gostaria de saber o motivo dessa divergencia entre resolver dessa forma (os exemplos abaixo são apenas para ilustrar essas 2 maneiras de fazer as quais você mesmo apresenta)
ou dessa forma
obs: qedpetrich Já esta com mais de 500 mensagens, meus parabéns, está voando e com certeza tens ajudado muitas pessoas
Jvictors021- Estrela Dourada
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Re: INEQUAÇÕES
Utilizando o seu exemplo:
Vamos fazer por partes, sempre recorra à definição geral de um módulo, não dependa de propriedades, as propriedades de fato aceleram os cálculos, mas como você quer (acredito eu) aprender de verdade não de bola para elas agora.
Definição geral:
Aplicando ao seu exemplo dado:
Certo, vamos fazer para o caso em que x ≥ 3, desta forma garantimos que qualquer valor respectivo para f(x) = x - 3 é positivo, logo:
Mas acabamos de definir o intervalo, ou seja, x ≥ 3, portanto nossa solução é:
Fazendo desta forma estaremos respeitando o respectivo intervalo, isso nos garante que o valor é positivo.
Agora fazemos para o segundo caso, onde o intervalo é definido por x < 3, desta forma garantimos que qualquer valor respectivo para g(x) = -x + 3 é positivo, exemplo: g(2) = -2 + 3 = 1 OK. Logo:
Mas análogo ao desenvolvimento anterior o intervalo já se encontra definido para x < 3, ou seja, nossa solução é:
Nossa solução é a união de S com S', logo:
Você acabou calculando alguma coisa erroneamente, não posso dizer o que pois você não apresentou os cálculos. Use essa dica, não dependa de fórmulas, tente construir seu próprio raciocínio, domine o básico e veras resultado. Espero ter ajudado, obrigado pela observação, qualquer coisa estamos aí!
Vamos fazer por partes, sempre recorra à definição geral de um módulo, não dependa de propriedades, as propriedades de fato aceleram os cálculos, mas como você quer (acredito eu) aprender de verdade não de bola para elas agora.
Definição geral:
Aplicando ao seu exemplo dado:
Certo, vamos fazer para o caso em que x ≥ 3, desta forma garantimos que qualquer valor respectivo para f(x) = x - 3 é positivo, logo:
Mas acabamos de definir o intervalo, ou seja, x ≥ 3, portanto nossa solução é:
Fazendo desta forma estaremos respeitando o respectivo intervalo, isso nos garante que o valor é positivo.
Agora fazemos para o segundo caso, onde o intervalo é definido por x < 3, desta forma garantimos que qualquer valor respectivo para g(x) = -x + 3 é positivo, exemplo: g(2) = -2 + 3 = 1 OK. Logo:
Mas análogo ao desenvolvimento anterior o intervalo já se encontra definido para x < 3, ou seja, nossa solução é:
Nossa solução é a união de S com S', logo:
Você acabou calculando alguma coisa erroneamente, não posso dizer o que pois você não apresentou os cálculos. Use essa dica, não dependa de fórmulas, tente construir seu próprio raciocínio, domine o básico e veras resultado. Espero ter ajudado, obrigado pela observação, qualquer coisa estamos aí!
qedpetrich- Monitor
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Re: INEQUAÇÕES
Meu caro, na verdade você que se equivocou...qedpetrich escreveu:Utilizando o seu exemplo:
Vamos fazer por partes, sempre recorra à definição geral de um módulo, não dependa de propriedades, as propriedades de fato aceleram os cálculos, mas como você quer (acredito eu) aprender de verdade não de bola para elas agora.
Definição geral:
Aplicando ao seu exemplo dado:
Certo, vamos fazer para o caso em que x ≥ 3, desta forma garantimos que qualquer valor respectivo para f(x) = x - 3 é positivo, logo:
Mas acabamos de definir o intervalo, ou seja, x ≥ 3, portanto nossa solução é:
Fazendo desta forma estaremos respeitando o respectivo intervalo, isso nos garante que o valor é positivo.
Agora fazemos para o segundo caso, onde o intervalo é definido por x < 3, desta forma garantimos que qualquer valor respectivo para g(x) = -x + 3 é positivo, exemplo: g(2) = -2 + 3 = 1 OK. Logo:
Mas análogo ao desenvolvimento anterior o intervalo já se encontra definido para x < 3, ou seja, nossa solução é:
Nossa solução é a união de S com S', logo:
Você acabou calculando alguma coisa erroneamente, não posso dizer o que pois você não apresentou os cálculos. Use essa dica, não dependa de fórmulas, tente construir seu próprio raciocínio, domine o básico e veras resultado. Espero ter ajudado, obrigado pela observação, qualquer coisa estamos aí!
veja que você na verdade usou (x-1) e (-x +1) ao invés de (x-3) e (-x + 3) respectivamente
veja o erro: 2x +1 > 3(x-1)
Irei demostrar meus calculos para que fique mais claro a ideia
MÉTODO 1
2x + 1 > 3|x-3|
|x-3| = x-3 se x >3
|x-3| = -x + 3 se x<3
2x +1 > 3x - 9 se x >3
x < 10 e x>3 logo (3,10) é um dos intervaos que satisfaz
2x +1 > -3x + 9 se x < 3
5x > 8
x> 8/5 e x < 3, logo (8/5, 3) é um dos intervaos que satisfaz
Resposta : (8/5, 3) U (3,10)
MÉTODO 2 (DÚVIDA)
Retomando a dúvida...
Propiedade modular : a qual é apresentada em diversos livros e creio que não seja um apenas um "macete"
2x + 1 > 3|x-3|
-2x -1 < 3x - 9 < 2x + 1
separando em 2 casos teremos:
1) -2x -1 < 3x -9
5x> 8 --> x > 8/5 = SOLUÇÃO 1
2) 3x - 9 < 2x + 1
x < 10 = SOLUÇÃO 2
Resposta: S1 U S2 = (8/5, 10) OU 10> X > 8/5
Por fim veja que as respostas estão diferentes a primeira maneira que fiz esta correta, entretanto a segunda há algum erro ( uma condição de existência que eu não saiba talvez que eu devia ter usado para que as respostas se equivalecem)
Jvictors021- Estrela Dourada
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Jvictors021- Estrela Dourada
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Re: INEQUAÇÕES
Opa, desculpa a demora.
Baaa, nem vi, perdão, usei |x-1| mesmo tava com sono já essa hora kkkkkk. Amigo, você calculou tudo certo, vejo que seu problema é sobre operações de conjuntos, acho que você já dominou as inequações e operações modulares. Vou explicar:
No seu primeiro método você obteve (8/5, 3) U (3,10), ou seja, temos uma união de dois conjuntos, que resulta em:
(8/5, 3) U [3,10)
segunda parte apenas uma correção:
1) -2x -1 < 3x -9
5x> 8 --> x > 8/5 = SOLUÇÃO 1
2) 3x - 9 < 2x + 1
x < 10 = SOLUÇÃO 2
Calculou corretamente, tudo certo, fez por partes, resolveu o lado esquerdo, depois o lado direito OK.
Resposta: S1 U S2 = (8/5, 10) OU 10> X > 8/5
Essa parte está errada, não se faz a união entre S1 e S2, faz-se a intersecção de S1 e S2, pois veja bem, você resolveu primeiro para -2x - 1 < 3x - 9 e chegou em x > 8/5. A solução encontrada também deve ser solução de 3x - 9 < 2x + 1, aí se faz o uso da intersecção para validar os dois intervalos. Outra maneira de pensar: Temos a solução 1 E a solução 2, quando temos "E" faz-se uso da intersecção dos dois intervalos determinados.
As soluções são iguais.
Qualquer dúvida estamos aí!
Baaa, nem vi, perdão, usei |x-1| mesmo tava com sono já essa hora kkkkkk. Amigo, você calculou tudo certo, vejo que seu problema é sobre operações de conjuntos, acho que você já dominou as inequações e operações modulares. Vou explicar:
No seu primeiro método você obteve (8/5, 3) U (3,10), ou seja, temos uma união de dois conjuntos, que resulta em:
(8/5, 3) U [3,10)
segunda parte apenas uma correção:
1) -2x -1 < 3x -9
5x> 8 --> x > 8/5 = SOLUÇÃO 1
2) 3x - 9 < 2x + 1
x < 10 = SOLUÇÃO 2
Calculou corretamente, tudo certo, fez por partes, resolveu o lado esquerdo, depois o lado direito OK.
Resposta: S1 U S2 = (8/5, 10) OU 10> X > 8/5
Essa parte está errada, não se faz a união entre S1 e S2, faz-se a intersecção de S1 e S2, pois veja bem, você resolveu primeiro para -2x - 1 < 3x - 9 e chegou em x > 8/5. A solução encontrada também deve ser solução de 3x - 9 < 2x + 1, aí se faz o uso da intersecção para validar os dois intervalos. Outra maneira de pensar: Temos a solução 1 E a solução 2, quando temos "E" faz-se uso da intersecção dos dois intervalos determinados.
As soluções são iguais.
Qualquer dúvida estamos aí!
Última edição por qedpetrich em Sáb 16 Out 2021, 16:07, editado 3 vez(es)
qedpetrich- Monitor
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Re: INEQUAÇÕES
qedpetrich, na verdade veja que não podemos afirmar que (8/5, 3) U (3,10) = (8/5,10) pois temos intervalos ABERTOS, logo 3 não esta incluso em nenhum dos intervalos (8/5, 3) e (3,10)...qedpetrich escreveu:Opa, desculpa a demora.
Baaa, nem vi, perdão, usei |x-1| mesmo tava com sono já essa hora kkkkkk. Amigo, você calculou tudo certo, vejo que seu problema é sobre operações de conjuntos, acho que você já dominou as inequações e operações modulares. Vou explicar:
No seu primeiro método você obteve (8/5, 3) U (3,10), ou seja, temos uma união de dois conjuntos, que resulta em:
(8/5, 3) U (3,10) = (8/5,10)
Já na segunda parte apenas uma correção:
1) -2x -1 < 3x -9
5x> 8 --> x > 8/5 = SOLUÇÃO 1
2) 3x - 9 < 2x + 1
x < 10 = SOLUÇÃO 2
Calculou corretamente, tudo certo, fez por partes, resolveu o lado esquerdo, depois o lado direito OK.
Resposta: S1 U S2 = (8/5, 10) OU 10> X > 8/5
Essa parte está errada, não se faz a união entre S1 e S2, faz-se a intersecção de S1 e S2, pois veja bem, você resolveu primeiro para -2x - 1 < 3x - 9 e chegou em x > 8/5. A solução encontrada também deve ser solução de 3x - 9 < 2x + 1, aí se faz o uso da intersecção para validar os dois intervalos. Outra maneira de pensar: Temos a solução 1 E a solução 2, quando temos "E" faz-se uso da intersecção dos dois intervalos determinados.
As soluções são iguais.
Qualquer dúvida estamos aí!
Veja que a expressão que resulta nesse conjunto solução é:
2x + 1 > 3|x-3|
Ao afirmar (8/5, 3) U (3,10) = (8/5,10), consequentemente estariamos afirmando que (8/5,10) possui o 3 como solução o que na verdade não ocorre
Em relação a segunda explicação não entendi muito bem o que você quis fazer, pois as respostas deram o mesmo resultado...
Jvictors021- Estrela Dourada
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Re: INEQUAÇÕES
Vou corrigir o correto é:
(8/5, 3) U [3,10) = (8/5,10)
Pois:
|x-3| = x-3, se x ≥ 3 ---> Acabou fazendo o uso errado da definição modular.
Pra acabar de vez com suas dúvidas, já expliquei, utilize a definição geral, mas como você quer utilizar as propriedades modulares, vou fazer um resumo genérico:
Para a segunda (II), podemos ainda escrever em forma de sistema:
Temos "e", por isso faz-se uso da intersecção da solução.
Em relação a: "Ao afirmar (8/5, 3) U (3,10) = (8/5,10), consequentemente estariamos afirmando que (8/5,10) possui o 3 como solução o que na verdade não ocorre "
Para x = 3 é solução sim, veja com seus próprios olhos:
2(3) + 1 > 3|3-3| ---> 6+1 > 0 ---> 7 > 0 é solução!
(8/5, 3) U [3,10) = (8/5,10)
Pois:
|x-3| = x-3, se x ≥ 3 ---> Acabou fazendo o uso errado da definição modular.
Pra acabar de vez com suas dúvidas, já expliquei, utilize a definição geral, mas como você quer utilizar as propriedades modulares, vou fazer um resumo genérico:
Para a segunda (II), podemos ainda escrever em forma de sistema:
Temos "e", por isso faz-se uso da intersecção da solução.
Em relação a: "Ao afirmar (8/5, 3) U (3,10) = (8/5,10), consequentemente estariamos afirmando que (8/5,10) possui o 3 como solução o que na verdade não ocorre "
Para x = 3 é solução sim, veja com seus próprios olhos:
2(3) + 1 > 3|3-3| ---> 6+1 > 0 ---> 7 > 0 é solução!
qedpetrich- Monitor
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Jvictors021 gosta desta mensagem
Re: INEQUAÇÕES
vlwww qedpetrich, zero dúvidas agora!! muito obrigado pela paciência... sucesso sempre meu caro amigo!qedpetrich escreveu:Vou corrigir o correto é:
(8/5, 3) U [3,10) = (8/5,10)
Pois:
|x-3| = x-3, se x ≥ 3 ---> Acabou fazendo o uso errado da definição modular.
Pra acabar de vez com suas dúvidas, já expliquei, utilize a definição geral, mas como você quer utilizar as propriedades modulares, vou fazer um resumo genérico:
Para a segunda (II), podemos ainda escrever em forma de sistema:
Temos "e", por isso faz-se uso da intersecção da solução.
Em relação a: "Ao afirmar (8/5, 3) U (3,10) = (8/5,10), consequentemente estariamos afirmando que (8/5,10) possui o 3 como solução o que na verdade não ocorre "
Para x = 3 é solução sim, veja com seus próprios olhos:
2(3) + 1 > 3|3-3| ---> 6+1 > 0 ---> 7 > 0 é solução!
Jvictors021- Estrela Dourada
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