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Números Complexos

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Mensagem por Estudante204 Seg 27 Set 2021, 11:44

Como fazer um exercício com uma potência grande de um número complexo?

Seja o número complexo z = (1 + i) elevado a 9. Determine o conjugado de z.

Gabarito 16 - 16i

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Mensagem por BatataLaranja345 Seg 27 Set 2021, 11:52

Olá colega!
Bom dia!!

Bom... o jeito que eu aprendi é o seguinte:
1) Transforme o complexo dado na sua forma trigonométrica
2) Após, aplique a 1ª Lei de Moivre.

Vc sabe a respeito desses conceitos? Se sim, faça os passos e veja se vc consegue chegar na resposta!
Caso haja alguma dúvida nos passos, não deixe de pontuar!
Se achar necessário, posto a minha resolução!
Abraços!  cheers
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Mensagem por Estudante204 Seg 27 Set 2021, 11:56

Obrigada pela resposta! Ainda não sei esses conceitos, mas acho que logo vou estudar sobre eles
Agradeceria se pudesse postar sua resolução mesmo assim Very Happy

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Mensagem por BatataLaranja345 Seg 27 Set 2021, 12:06

De nada!
Sobre os conceitos... eu recomendaria vc a ver eles o quanto antes, pois são importantíssimos... e a minha resolução será baseada neles! 

Eu só estou um pouco atarefado agr, e a resolução demandará um pouquinho de tempo pq eu não sei usar o Latex... então eu iria digitá-la na mão mesmo kkkkk
Devo fazer isso dps de 13h mais ou menos, mas eu postarei, mesmo se algum outro colega postar tbm!

Mas, enquanto eu não posto, veja sobre esses conceitos! As duas questões que vc postou hj sobre complexos usam esses conceitos!
Abraços e até mais tarde!
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Mensagem por Estudante204 Seg 27 Set 2021, 12:09

Sem problemas e verei sobre esses conceitos Very Happy

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Mensagem por BatataLaranja345 Seg 27 Set 2021, 12:41

Bom... postarei aqui para vc ver a resolução!
Quando vc ver a teoria, volte nessa questão e veja ela com calma! Caso haja qualquer dúvida a respeito, seja da teoria, seja da resolução da questão, não deixe de pontuar!
Vamos lá! Cool
-------------------------------------------------------------------------------
z = (1 + i)

- Passando "z" para a forma trigonométrica.
|z| = √(1² + 1²) = √2


              1                             √2

cos.x = -----    ----> cos.x = ------

             √2                             2

              1                             √2

sen.x = -----    ----> sen.x = ------

             √2                             2


Logo, observando os ângulos achados, percebe-se que x = 45º


Portanto:

             z = √2 .(cos45º + i.sen45º)              -----> Forma trigonométrica de "z"

--------------------------------------------------------------------------------

- Agora, fazendo z^9, aplicando a 1ª Lei de Moivre.


z^9 = (√2)^9 .( cos.(45.9) + i.sen(45.9) )

z^9 = 16√2 . ( cos.405 + i.sen.405 )
z^9 = 16√2 . (cos.45 + i.sen45)


                        √2          √2

z^9 = 16√2 . ( ----- + i. -----)                   -----> Forma trigonométrica de "z" com o expoente 9

                         2            2


----------------------------------------------------------------------------------

- Por fim, transformando z para sua forma base.

z^9 = a + b.i



                  a                      √2         a

cos.45 = --------     -----> ------ = -------- --------> a = 16

                |z^9|                  2        16√2



Fazendo o caso análogo ao sen.45 ..... ----> b = 16

Logo, chegamos a:

z^9 = 16 + 16.i

Após isso, passamos ele para o seu conjugado!
Logo, a resposta fica:
z^9 = 16 - 16.i

---------------------------------------------------------------------------------

Usamos nessa resolução, meu(minha) amigo(a):
1) Transformação da forma base para a forma trigonométrica.
2) Lei de Moivre.
3) Transformação dos senos e cossenos dos complexos.
4) Complexos e seus conjugados.  

Veja a teoria, e como disse, após isso veja a resolução!
Caso haja qualquer dúvida, ou na teoria ou na resolução, não deixe de pontuar!
Abraços! cheers


Última edição por BatataLaranja345 em Seg 27 Set 2021, 12:43, editado 1 vez(es) (Motivo da edição : Esqueci de completar a resolução!)
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Mensagem por Elcioschin Seg 27 Set 2021, 16:43

Outro modo:

(1 + i)² = 1 + 2.i + i² = 1 + 2.i - 1 = 2.i

(1 + i)4 = [(1 + i)²]²= (2.i)² = - 4

(1 + i)8 = [(1 + i)4]² = (-4)² = 16

(1 + i)9 = (1 + i)8.(1 + i) = 16.(1 + i) = 16 + 16.i
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