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Indução matemática

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Resolvido Indução matemática

Mensagem por twtytwoacaciaav Sex 24 Set 2021, 13:10

Demonstre que, se n for um inteiro positivo, então 7n - 1 é divisível por 6.


Última edição por twtytwoacaciaav em Seg 27 Set 2021, 10:27, editado 1 vez(es)

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Resolvido Re: Indução matemática

Mensagem por tales amaral Sex 24 Set 2021, 13:22

Se n=1, obtemos 7-1=6, que é divisível por 6.

Supondo que vale para n=k, obtemos [latex]7^k -1= 6q, q\in\mathbb{Z}[/latex].

Provando que vale para n=k+1:

Temos que [latex]7^k -1= 6q[/latex]. Multiplicando ambos os lados por 7: [latex]7^{k+1} -7= 6\cdot7q \iff 7^{k+1}-1 = 6\cdot7q+6 \iff 7^{k+1}-1 = 6\cdot(7q+1),  q\in\mathbb{Z}[/latex]. Ou seja, [latex]7^{k+1}-1[/latex] é um múltiplo de 6.

Temos que 7^n - 1 é divisível por 6 para qualquer n>=1.
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