Trigonometria

por Bruna Ce Qui 23 Set 2021, 23:15

Gabarito:

por **Elcioschin** Qui 23 Set 2021, 23:36

senB + cosB = x ---> Elevando ao quadrado:

(senB + cosB)² = x² ---> sen²B + cos²B + 2.senB.cosb = x² --->

1 + sen(2.B) = x² ---> sen(2.B) = x² - 1 ---> Elevando ao quadrado:

sen²(2.B) = (x²)² - 2.x² + 1 ---> 1 - cos²(2.B) = (x²)² - 2.x² + 1 --->

cos²(2.B) = 2.x² - (x²)² ---> cos²(2.B) = x².(2 - x²) ---> cos(2.B) = x.√(2 - x²)

por **gabriel de castro** Sex 24 Set 2021, 00:01

Olá Bruna Ce,

Como mestre Elcio foi mais ágil irei sugerir outra possibilidade, começando pelo seguinte:

[latex]\sin^{2}\left ( \beta \right )+\cos^{2}\left ( \beta \right )=1\;\Rightarrow\;\sin^{2}\left ( \beta \right )=1-\left (x-\sin\left ( \beta \right ) \right )^{2}\;\Rightarrow\;\\\\2.\sin^{2}\left ( \beta \right )+2x.\sin\left ( \beta \right )+\left ( x^{2}-1 \right )\;\Rightarrow\;\sin\left ( \beta \right )=\frac{-\left ( 2x\right )\;\pm \sqrt{\left ( 2x \right )^{2}-4.2.\left ( x^{2}-1 \right )}}{2.2}\;\Rightarrow\\\\\sin\left ( \beta \right )=\frac{-2x\;\pm\;2\sqrt{2-x^{2}}}{4}\;\therefore\;\boxed{\sin\left ( \beta \right )=\frac{-x\;\pm\;\sqrt{2-x^{2}}}{2}}[/latex]

Como β é um ângulo do primeiro quadrante utilizaremos apenas o sen(β) com a raiz positiva para o desenvolvimento abaixo:

[latex]\cos\left ( \beta+\beta \right )=\cos\left ( 2\beta \right )=\cos\left ( \beta \right ).\cos\left ( \beta \right )-\sin\left ( \beta \right ).\sin\left ( \beta \right )\;\Rightarrow\;\\\\\cos\left ( 2\beta \right )=\cos^{2}\left ( \beta \right )-\sin^{2}\left ( \beta \right )\;\Rightarrow\;\cos\left ( 2\beta \right )=\left ( \cos\left ( \beta \right )-\sin\left ( \beta \right ) \right ).\left ( \cos\left ( \beta \right )+\sin\left ( \beta \right ) \right )\;\Rightarrow\;\\\cos\left ( 2\beta \right )=\left ( x-2\sin\left ( \beta \right ) \right ).x\;\Rightarrow\;\cos\left ( 2\beta \right )=\left [ x-2.\left ( \frac{-x\;+\;\sqrt{2-x^{2}}}{2} \right ) \right ].x\;\\\\\therefore\;\boxed{\cos\left ( 2\beta \right )=x\sqrt{2-x^{2}}}[/latex]

Obs.: Você deve transcrever o seu enunciado, anexando somente a foto da questão você estará infligindo as regras do fórum.

Espero ter ajudado Smile

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