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CN 2001 - Divisibilidade

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Resolvido CN 2001 - Divisibilidade

Mensagem por castelo_hsi Sex 17 Set 2021, 22:19

Se a é um número natural, CN 2001 - Divisibilidade Gif é sempre divisível por:

a) 41
b) 48
c) 50
d) 60
e) 72

Resolução:
CN 2001 - Divisibilidade Image

Dúvida:
Como eu posso demonstrar que em uma sucessão 5 de números naturais, sempre haverá, pelo menos, um múltiplo de 5, um múltiplo de 4, um múltiplo de 3  ou um múltiplo de 2 para qualquer a ∈ N?


Última edição por castelo_hsi em Sab 18 Set 2021, 14:45, editado 1 vez(es)
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Resolvido Re: CN 2001 - Divisibilidade

Mensagem por SilverBladeII Sex 17 Set 2021, 23:58

Temos um teorema mais geral e forte: O produto de k numeros consecutivos é SEMPRE divisivel por k!. Particularmente, é divisivel por 1, 2, 3,... k.

Primeiramente, vamos definir os numeros binomiais:
Se n é um inteiro não negativo e k inteiro, definimos:
[latex]\binom{n}{k}=\begin{cases}0\text{, se $k < 0$ ou $k > n$}\\\frac{n!}{k!(n-k)!}\text{ caso contrario}\end{cases}[/latex]

é fácil provar a relação de stifel (basta abrir as contas):
[latex]\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}=\binom{n}{k}[/latex]

Vamos provar que esses numeros binomiais são sempre inteiros, para todos n e k.
é fácil ver que [latex]\binom{0}{k}[/latex] é inteiro, para todo k.
Suponha que [latex]\binom{n}{k}[/latex] seja inteiro, para todo k.

então, para todo k, como a soma de dois inteiros é também inteiro, temos:
[latex]\binom{n}{k-1}+\binom{n}{k}=\binom{n+1}{k}[/latex]
e então provamos que esses numeros são sempre inteiros.

Mas como isso prova o problema original?
ora, tome k inteiros positivos consecutivos (o caso negativo é a mesma coisa), n+1, n+2, ..., n+k, e veja que
[latex]\frac{(n+1)(n+2)\dots(n+k)}{k!}=\frac{(n+k)!}{k!n!}=\binom{n+k}{k}[/latex]
como provamos que esse último é inteiro, a primeira fração também é inteira, e portanto
[latex]k!|(n+1)\dots(n+k)[/latex]
que é o que queríamos.
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Resolvido Re: CN 2001 - Divisibilidade

Mensagem por castelo_hsi Sab 18 Set 2021, 00:05

Excelente, SilverBladeII. Não conhecia essa relação. Ajudou demais, muito obrigado. cheers
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Resolvido Re: CN 2001 - Divisibilidade

Mensagem por SilverBladeII Sab 18 Set 2021, 00:09

opa mano, agr que eu percebi que respondi a pergunta errada, peço desculpas.

No geral, toda sequencia de k inteiros consecutivos tem ao menos um múltiplo de k (como essa sequencia também tem k-1 numeros, algum deles vai ser divisivel por k-1, analogamente algum vai ser divisivel por k-2, ..., algum vai ser divisivel por 2 e algum vai ser divisivel por 1).

Sejam n+1, n+2, ..., n+k os k inteiros consecutivos
pelo algoritmo de euclides, n=mk+r, onde r é um inteiro entre 0 e k-1, inclusive.

como k-r é menor ou igual a k e maior que 0, n+k-r está na sequencia acima, mas n+k-r=mk+r+k-r=k(m+1), que é divisível por k, e temos o que queríamos.
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Resolvido Re: CN 2001 - Divisibilidade

Mensagem por castelo_hsi Sab 18 Set 2021, 00:16

@SilverBladeII escreveu:opa mano, agr que eu percebi que respondi a pergunta errada, peço desculpas.

No geral, toda sequencia de k inteiros consecutivos tem ao menos um múltiplo de k (como essa sequencia também tem k-1 numeros, algum deles vai ser divisivel por k-1, analogamente algum vai ser divisivel por k-2, ..., algum vai ser divisivel por 2 e algum vai ser divisivel por 1).

Sejam n+1, n+2, ..., n+k os k inteiros consecutivos
pelo algoritmo de euclides, n=mk+r, onde r é um inteiro entre 0 e k-1, inclusive.

como k-r é menor ou igual a k e maior que 0, n+k-r está na sequencia acima, mas n+k-r=mk+r+k-r=k(m+1), que é divisível por k, e temos o que queríamos.
SilverBladeII, não entendi muito bem o porquê da sua primeira resposta estar errada, essa relação não se aplica a questão?
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Resolvido Re: CN 2001 - Divisibilidade

Mensagem por qedpetrich Sab 18 Set 2021, 00:25

Boa noite;

O SilverBladell deu uma definição elegantíssima, pente fino rapaiz. Pra ficar mais simples de exemplificar, pegue 5 números quaisquer consecutivos  naturais e faça o produto entre eles, veja que sempre haverá, pelo menos, um múltiplo de 5, um múltiplo de 4, um múltiplo de 3  ou um múltiplo de 2 para qualquer a ∈ N. Alguns exemplos:

1*2*3*4*5 = 2³*3*5
2*3*4*5*6 = 2⁴*3²*5
3*4*5*6*7 = 2³*3²*5*7
4*5*6*7*8 = 2⁶*3*5*7
...

Fica fácil perceber do por quê a expressão ser sempre divisível por 60.
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Resolvido Re: CN 2001 - Divisibilidade

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