PA- triangulos
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PA- triangulos
QUESTÃO 79 _21_ENEM_MAT_AF_L4_Q14
Utilizando-se palitos de fósforo de mesmo comprimento, constrói-se uma sequência de figuras composta de triângulos equiláteros congruentes entre si, conforme mostrado a seguir.
Segundo o padrão de construção da sequência, quantos palitos deve haver na décima figura? A 330 B 300 C 210 D 165 E 150 Gabarito: D
Utilizando-se palitos de fósforo de mesmo comprimento, constrói-se uma sequência de figuras composta de triângulos equiláteros congruentes entre si, conforme mostrado a seguir.
Segundo o padrão de construção da sequência, quantos palitos deve haver na décima figura? A 330 B 300 C 210 D 165 E 150 Gabarito: D
Gemma Galgani- Jedi
- Mensagens : 464
Data de inscrição : 30/06/2021
Re: PA- triangulos
tinha pensado assim, na figura 1 tenho 1 ^2
na fig 2 2^2 4 triangulos........
dai na décima seriam 10^2
100, mas teria 3 palitos cada triangulo, logo tenho 300 palitos, mas como eliminaria aqueles q dão sustentação?? me perdi aq
na fig 2 2^2 4 triangulos........
dai na décima seriam 10^2
100, mas teria 3 palitos cada triangulo, logo tenho 300 palitos, mas como eliminaria aqueles q dão sustentação?? me perdi aq
Gemma Galgani- Jedi
- Mensagens : 464
Data de inscrição : 30/06/2021
Re: PA- triangulos
(3,9,18,30,..., a10)
Note que, pegando essa sequência: (1,3,6,10,15,21,28,36,45,55) e analisando os saltos, podemos perceber que:
1 para 3 pula 2
3 para 6 pula 3
6 para 10 pula 4
E assim sucessivamente.
Então, pegando essa sequência acima, e multiplicando todos os seus números por 3 vai gerar justamente a sequência solicitada.
Ficando:
a1: 3*1=3
a2: 3*3=9
a3: 3*6=18
a4: 3*10=30
a5: 3*15=45
a6: 3*21=63
a7: 3*28=84
a8: 3*36=108
a9: 3*45=135
a10: 3*55=165
Não consegui encontrar um método geral, mas deve ter uma forma mais simples através de um método geral.
Note que, pegando essa sequência: (1,3,6,10,15,21,28,36,45,55) e analisando os saltos, podemos perceber que:
1 para 3 pula 2
3 para 6 pula 3
6 para 10 pula 4
E assim sucessivamente.
Então, pegando essa sequência acima, e multiplicando todos os seus números por 3 vai gerar justamente a sequência solicitada.
Ficando:
a1: 3*1=3
a2: 3*3=9
a3: 3*6=18
a4: 3*10=30
a5: 3*15=45
a6: 3*21=63
a7: 3*28=84
a8: 3*36=108
a9: 3*45=135
a10: 3*55=165
Não consegui encontrar um método geral, mas deve ter uma forma mais simples através de um método geral.
Edu lima- Jedi
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Idade : 33
Localização : RN
Re: PA- triangulos
Esta mesma questão ---> https://pir2.forumeiros.com/t175689-progressao
outra similar com palitos e triângulos ---> https://pir2.forumeiros.com/t120430-obmep-2012
uma do mesmo estilo com quadrados ---> https://pir2.forumeiros.com/t69755-problema-dos-palitos-de-fosforos
outra similar com palitos e triângulos ---> https://pir2.forumeiros.com/t120430-obmep-2012
uma do mesmo estilo com quadrados ---> https://pir2.forumeiros.com/t69755-problema-dos-palitos-de-fosforos
Medeiros- Grupo
Velhos amigos do Fórum - Mensagens : 10382
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Localização : Santos, SP, BR
Re: PA- triangulos
vcs viram oq eu fiz???? me ajuda a concluir esse raciocinio/Gemma Galgani escreveu:tinha pensado assim, na figura 1 tenho 1 ^2
na fig 2 2^2 4 triangulos........
dai na décima seriam 10^2
100, mas teria 3 palitos cada triangulo, logo tenho 300 palitos, mas como eliminaria aqueles q dão sustentação?? me perdi aq
Gemma Galgani- Jedi
- Mensagens : 464
Data de inscrição : 30/06/2021
Re: PA- triangulos
E você fiu o segundo link de minha mensagem acima? Lá tem a dica para o seu raciocínio.Gemma Galgani escreveu:vcs viram oq eu fiz???? me ajuda a concluir esse raciocinio/ :) :)Gemma Galgani escreveu:tinha pensado assim, na figura 1 tenho 1 ^2
na fig 2 2^2 4 triangulos........
dai na décima seriam 10^2
100, mas teria 3 palitos cada triangulo, logo tenho 300 palitos, mas como eliminaria aqueles q dão sustentação?? me perdi aq
Acontece que os triângulos internos das figuras (exceto a primeira) compartilham palitos na arestas. Então NÃO devemos contar TODOS os triângulos mas apenas aqueles que são acrescentados inteiros para formar as figuras subsequentes, e não contar os buracos triangulares.
Isto porque da 1ª para a 2ª figura são acrescentados 2 triângulos de palitos abaixo da 1ª. Analogamente, da 2ª para a 3ª são acrescentados 3 triângulos abaixo. A contagem do total de triângulos de palitos numa figura deve ser desta forma:
figura 1 ---> 1 triângulo
figura 2 ---> 3 triângulos = 1 + 2
figura 3 ---> 6 triângulos = 1 + 2 + 3
figura 4 ---> 10 triângulos = 1 + 2 + 3 + 4
percebeu que a enésima figura tem tantos triâgulos quanto a soma de uma PA com primeiro termo a1 = 1, razão r = 1 e enésimo termo n. Para n = 10, temos:
nº de triângulos = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 10 = (10 +1).10/2 = 55
como cada triângulos tem 3 palitos, o total de palitos na 10ª figura é p
p = 55*3 = 165
__________________________________________
comentário:
- você pede ajuda mas você também deve se ajudar, e não esperar que chegue mastigado.
- além do que este tópico nem deveria existir pois esta questão já existe no fórum.
Medeiros- Grupo
Velhos amigos do Fórum - Mensagens : 10382
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Localização : Santos, SP, BR
Edu lima gosta desta mensagem
Re: PA- triangulos
Oiii edu, não entendi essa sequencia (1,3,6,10,15,21,28,36,45,55), ela é de que?? n tendi esse padraoEdu lima escreveu:(3,9,18,30,..., a10)
Note que, pegando essa sequência: (1,3,6,10,15,21,28,36,45,55) e analisando os saltos, podemos perceber que:
1 para 3 pula 2
3 para 6 pula 3
6 para 10 pula 4
E assim sucessivamente.
Então, pegando essa sequência acima, e multiplicando todos os seus números por 3 vai gerar justamente a sequência solicitada.
Ficando:
a1: 3*1=3
a2: 3*3=9
a3: 3*6=18
a4: 3*10=30
a5: 3*15=45
a6: 3*21=63
a7: 3*28=84
a8: 3*36=108
a9: 3*45=135
a10: 3*55=165
Não consegui encontrar um método geral, mas deve ter uma forma mais simples através de um método geral.
Gemma Galgani- Jedi
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Data de inscrição : 30/06/2021
Re: PA- triangulos
Veja Binômio de Newton:
1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
Complete
1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
Complete
Elcioschin- Grande Mestre
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Idade : 77
Localização : Santos/SP
Edu lima e Gemma Galgani gostam desta mensagem
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