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Cálculo

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Mensagem por alexfiinho Seg 13 Set 2021, 20:01

Considere a Região R compreendida entre as curvas de y= [latex]\tfrac{5x-x^{2}}{4}[/latex]e x= [latex]4log_{2}(y+1)[/latex], sabendo que os pontos de integração ocorrem em y=0 e y=1.




a) Esboce a região R .
b) Represente (sem calcular!) a área de R por uma ou mais integrais definidas em termos de x .
c) Represente (sem calcular!) a área de R por uma ou mais integrais definidas em termos de y .
d) Encontre a área da região R (Use a representação mais conveniente).
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Mensagem por Victor011 Ter 14 Set 2021, 11:46

Olá alexfiinho! Cálculo  1f600 

a) A primeira curva ([latex]y = \frac{5x-x^2}{4}[/latex]) é uma parábola com concavidade para baixo. Vamos escrever y em função de x na segunda curva para identificarmos o que ela é:

[latex]\\x=4\log_2(y+1)\rightarrow \boxed{y=2^{\frac{x}{4}}-1}[/latex]

Isso é uma função exponencial crescente. O esboço será algo desse tipo:

Cálculo  +n9b8K40avQ7hwAAAABJRU5ErkJggg==

b) Para encontrar a área da região, basta integrar a diferença entre as funções, ou seja:

[latex]\\\boxed{\int_{0}^{4}\left ( \frac{5x-x^2}{4}-2^{\frac{x}{4}}+1 \right )dx}[/latex]

c) Primeiro vamos escrever as curvas como função de y. Para a segunda curva, já temos que [latex]x=4\log_2(y+1)[/latex]. Para a primeira curva, teremos:

[latex]\\y = \frac{5x-x^2}{4}\rightarrow x^2-5x+\frac{25}{4}=\frac{25}{4}-4y\\\\ \rightarrow\left ( x-\frac{5}{2} \right )^2=\frac{25}{4}-4y\\\\\\\rightarrow \boxed{x=\frac{5}{2}\pm\sqrt{\frac{25}{4}-4y}}[/latex]

O símbolo de mais ou menos representa que, em uma parábola com concavidade para baixo, para um y, nós temos dois valores possíveis para x.

Agora o cálculo da área será quebrado em partes.
Para y indo de 0 a 1, a área pode ser obtida de forma similar ao item b (integrar a diferença de funções).
No entanto, para y >1, a integral será feita com a diferença entre os dois x da parábola. Veja:

[latex]\\\boxed{\int_{0}^{1}\left ( 4\log_2(y+1) - \frac{5}{2}+\sqrt{\frac{25}{4}-4y}\right )dy+ \int_{1}^{\frac{25}{16}}\left (\cancel{\frac{5}{2}}+\sqrt{\frac{25}{4}-4y} -\cancel{\frac{5}{2}}+\sqrt{\frac{25}{4}-4y} \right )dy}[/latex]

d) É evidente que a representação b é a melhor para calcular kkkk deixo o cálculo da integral por sua conta
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